曲線 $y = e^{-x} + 1$ 上の点 $P(t, e^{-t} + 1)$ における接線と $x$ 軸との交点を $Q$ とする。また、点 $P$ から $x$ 軸に垂線を下ろし、$x$ 軸との交点を $R$ とする。$\triangle PQR$ を $x$ 軸の周りに1回転して得られる立体の体積を $V(t)$ とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $V(t)$ を $t$ を用いて表せ。 (2) $V(t)$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = e^{-x} + 1$ 上の点 $P(t, e^{-t} + 1)$ における接線と $x$ 軸との交点を $Q$ とする。また、点 $P$ から $x$ 軸に垂線を下ろし、$x$ 軸との交点を $R$ とする。$\triangle PQR$ を $x$ 軸の周りに1回転して得られる立体の体積を $V(t)$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $V(t)$ を $t$ を用いて表せ。

(2) $V(t)$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $V(t)$ を $t$ を用いて表す。

まず、曲線 $y = e^{-x} + 1$ を微分して、点 $P$ における接線の傾きを求める。

$y' = -e^{-x}$ なので、点 $P(t, e^{-t} + 1)$ における接線の傾きは $-e^{-t}$ である。

したがって、点 $P$ における接線の方程式は、

$y - (e^{-t} + 1) = -e^{-t}(x - t)$

$y = -e^{-t}x + te^{-t} + e^{-t} + 1$

この接線と $x$ 軸との交点 $Q$ を求める。$y = 0$ とおくと、

$0 = -e^{-t}x + te^{-t} + e^{-t} + 1$

$e^{-t}x = te^{-t} + e^{-t} + 1$

$x = t + 1 + e^{t}$

よって、点 $Q$ の座標は $(t + 1 + e^t, 0)$ である。

点 $R$ の座標は $(t, 0)$ である。

したがって、線分 $QR$ の長さは、

$QR = |t + 1 + e^t - t| = 1 + e^t$

線分 $PR$ の長さは、

$PR = e^{-t} + 1$

$\triangle PQR$ を $x$ 軸の周りに1回転して得られる立体の体積 $V(t)$ は、円錐の体積なので、

$V(t) = \frac{1}{3} \pi (PR)^2 \cdot QR$

$V(t) = \frac{1}{3} \pi (e^{-t} + 1)^2 (1 + e^t)$

$V(t) = \frac{\pi}{3} (e^{-2t} + 2e^{-t} + 1) (1 + e^t)$

$V(t) = \frac{\pi}{3} (e^{-2t} + 2e^{-t} + 1 + e^{-t} + 2 + e^t)$

$V(t) = \frac{\pi}{3} (e^{-2t} + 3e^{-t} + 3 + e^t)$

(2) $V(t)$ の最小値を求める。

$V'(t) = \frac{\pi}{3} (-2e^{-2t} - 3e^{-t} + e^t)$

$V'(t) = 0$ となる $t$ を求める。

$-2e^{-2t} - 3e^{-t} + e^t = 0$

両辺に $e^{2t}$ をかけると、

$-2 - 3e^t + e^{3t} = 0$

$e^{3t} - 3e^t - 2 = 0$

$x = e^t$ とおくと、

$x^3 - 3x - 2 = 0$

$(x + 1)(x^2 - x - 2) = 0$

$(x + 1)(x + 1)(x - 2) = 0$

$(x + 1)^2 (x - 2) = 0$

$x = -1, 2$

$x = e^t$ より、$e^t > 0$ なので、$x = 2$

$e^t = 2$

$t = \log 2$

$t = \log 2$ のとき、

$V(\log 2) = \frac{\pi}{3} (e^{-2 \log 2} + 3e^{-\log 2} + 3 + e^{\log 2})$

$V(\log 2) = \frac{\pi}{3} (e^{\log (1/4)} + 3e^{\log (1/2)} + 3 + e^{\log 2})$

$V(\log 2) = \frac{\pi}{3} (\frac{1}{4} + \frac{3}{2} + 3 + 2)$

$V(\log 2) = \frac{\pi}{3} (\frac{1 + 6 + 12 + 8}{4}) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{27}{4} = \frac{9\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $V(t) = \frac{\pi}{3}(e^{-2t} + 3e^{-t} + e^t + 3)$

(2) $\frac{9\pi}{4}$