与えられた式 $4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式は、$a^2$と$b^2$に関する二次式とみなすことができます。

$x = a^2$、$y = b^2$ とおくと、式は $4x^2 - 25xy + 36y^2$ となります。

これを因数分解します。

たすき掛けを使って因数分解を試みます。

$4x^2 - 25xy + 36y^2 = (Ax + By)(Cx + Dy)$ とおくと、

$AC = 4$

$BD = 36$

$AD + BC = -25$

となるような整数A, B, C, Dを見つけます。

$A = 4$, $C = 1$ とすると、

$4D + B = -25$

$BD = 36$

BとDの候補として、(-4, -9), (-9, -4), (-3, -12), (-12, -3), (-2, -18), (-18, -2), (-1, -36), (-36, -1), (4, 9), (9, 4), (3, 12), (12, 3), (2, 18), (18, 2), (1, 36), (36, 1)が考えられます。

$B = -4$, $D = -9$ のとき、$4(-9) + (-4) = -36 - 4 = -40$

$B = -9$, $D = -4$ のとき、$4(-4) + (-9) = -16 - 9 = -25$

したがって、$A = 4$, $B = -9$, $C = 1$, $D = -4$ とすればよいです。

よって、$4x^2 - 25xy + 36y^2 = (4x - 9y)(x - 4y)$ と因数分解できます。

$x = a^2$、$y = b^2$ を代入すると、$4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4 = (4a^2 - 9b^2)(a^2 - 4b^2)$ となります。

さらに、$4a^2 - 9b^2 = (2a)^2 - (3b)^2$、$a^2 - 4b^2 = a^2 - (2b)^2$ はそれぞれ差の二乗の形なので、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ を利用して因数分解できます。

$4a^2 - 9b^2 = (2a + 3b)(2a - 3b)$

$a^2 - 4b^2 = (a + 2b)(a - 2b)$

したがって、$4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4 = (2a + 3b)(2a - 3b)(a + 2b)(a - 2b)$ となります。

3. 最終的な答え

$(2a + 3b)(2a - 3b)(a + 2b)(a - 2b)$