$a+b+c=0$ のとき、$ab(a+b)^2 + bc(b+c)^2 + ca(c+a)^2 = 0$ を証明する。

1. 問題の内容

$a+b+c=0$ のとき、$ab(a+b)^2 + bc(b+c)^2 + ca(c+a)^2 = 0$ を証明する。

2. 解き方の手順

$a+b+c=0$ より、$a+b=-c$, $b+c=-a$, $c+a=-b$である。

これらを元の式に代入する。

$ab(a+b)^2 + bc(b+c)^2 + ca(c+a)^2 = ab(-c)^2 + bc(-a)^2 + ca(-b)^2$

$= abc^2 + bca^2 + cab^2 = abc(c+a+b)$

条件より、$a+b+c=0$ なので、

$abc(c+a+b) = abc(0) = 0$

したがって、$ab(a+b)^2 + bc(b+c)^2 + ca(c+a)^2 = 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$ab(a+b)^2 + bc(b+c)^2 + ca(c+a)^2 = 0$