$x \geq 0$ のとき、不等式 $x^3 - 3x^2 + 4 \geq 0$ を証明する。

1. 問題の内容

$x \geq 0$ のとき、不等式 $x^3 - 3x^2 + 4 \geq 0$ を証明する。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ を考える。

この関数の導関数を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、$x = 0, 2$ 。

$x \geq 0$ における増減表は以下のようになる。

| x | 0 | ... | 2 | ... |

| :---- | :--- | :---- | :--- | :---- |

| f'(x) | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 4 | 減少 | 0 | 増加 |

増減表より、$x \geq 0$ において、$f(x)$ は $x = 2$ のとき最小値をとる。最小値は $f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$ 。

したがって、$x \geq 0$ において、$f(x) \geq 0$ である。

3. 最終的な答え

$x \geq 0$ のとき、$x^3 - 3x^2 + 4 \geq 0$ が成り立つ。