与えられた式 $4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は、一見すると二次式のように見えますが、$a^2$と$b^2$に関する項があるので、少し工夫が必要です。

まず、$4a^4 + 12a^2b^2 + 36b^4$ を考えます。これは $(2a^2 + 6b^2)^2$ となります。つまり、$4a^4 + 36b^4$ は $(2a^2 + 6b^2)^2$ の展開の一部分です。

しかし、元の式は $4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$ です。

式を以下のように変形します。

$4a^4 + 12a^2b^2 + 36b^4 - 37a^2b^2 = (2a^2 + 6b^2)^2 - ( \sqrt{37}ab)^2$

これではうまくいきません。

そこで、$4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$ を $(2a^2 + kb^2)(2a^2 + lb^2)$ の形に因数分解できるか考えます。

$(2a^2 + kb^2)(2a^2 + lb^2) = 4a^4 + (2k+2l)a^2b^2 + klb^4$

ここで、$2k+2l = -25$ かつ $kl = 36$となるようなkとlを探します。

$k + l = -\frac{25}{2}$ と $kl = 36$

$l = -\frac{25}{2} - k$ より $k(-\frac{25}{2} - k) = 36$

$-\frac{25}{2}k - k^2 = 36$

$k^2 + \frac{25}{2}k + 36 = 0$

$2k^2 + 25k + 72 = 0$

$(2k + 9)(k + 8) = 0$

したがって $k = -8$ または $k = -\frac{9}{2}$

$k = -8$のとき $l = -\frac{25}{2} - (-8) = -\frac{25}{2} + \frac{16}{2} = -\frac{9}{2}$

$k = -\frac{9}{2}$のとき $l = -8$

よって、$4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4 = (2a^2 - 8b^2)(2a^2 - \frac{9}{2}b^2) = 4(a^2 - 4b^2)(a^2 - \frac{9}{4}b^2)$とはならない

平方の差の形を作ることを考えます。

$4a^4 - 24a^2b^2 + 36b^4 - a^2b^2 = (2a^2 - 6b^2)^2 - (ab)^2$

$= (2a^2 - 6b^2 - ab)(2a^2 - 6b^2 + ab) = (2a^2 - ab - 6b^2)(2a^2 + ab - 6b^2)$

さらに因数分解します。

$2a^2 - ab - 6b^2 = (2a + 3b)(a - 2b)$

$2a^2 + ab - 6b^2 = (2a - 3b)(a + 2b)$

3. 最終的な答え

$(2a + 3b)(a - 2b)(2a - 3b)(a + 2b)$

または

$(a-2b)(a+2b)(2a+3b)(2a-3b) = (a^2-4b^2)(4a^2-9b^2)$