与えられた式 $4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $4a^4 - 25a^2b^2 + 36b^4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x = a^2$、$y = b^2$ と置換します。すると、与えられた式は次のようになります。

$4x^2 - 25xy + 36y^2$

次に、この式を因数分解します。

$4x^2 - 25xy + 36y^2 = (4x - 9y)(x - 4y)$

最後に、$x = a^2$、$y = b^2$ を元に戻します。

$(4a^2 - 9b^2)(a^2 - 4b^2)$

それぞれの括弧内がさらに因数分解できることに注目します。

$4a^2 - 9b^2 = (2a)^2 - (3b)^2 = (2a - 3b)(2a + 3b)$

$a^2 - 4b^2 = a^2 - (2b)^2 = (a - 2b)(a + 2b)$

したがって、最終的な因数分解は次のようになります。

$(2a - 3b)(2a + 3b)(a - 2b)(a + 2b)$

3. 最終的な答え

$(2a - 3b)(2a + 3b)(a - 2b)(a + 2b)$