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ユークリッドの互除法を用いて、$8x + 11y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を一つ見つける問題です。

数論ユークリッドの互除法不定方程式整数解線形合同方程式
2025/3/18

1. 問題の内容

ユークリッドの互除法を用いて、8x+11y=18x + 11y = 1 を満たす整数の組 (x,y)(x, y) を一つ見つける問題です。

2. 解き方の手順

まず、ユークリッドの互除法を用いて、8と11の最大公約数を求めます。
11=8×1+311 = 8 \times 1 + 3
8=3×2+28 = 3 \times 2 + 2
3=2×1+13 = 2 \times 1 + 1
2=1×2+02 = 1 \times 2 + 0
したがって、8と11の最大公約数は1です。
次に、上記の式を逆にたどって、8x+11y=18x + 11y = 1 となる xx と yy を求めます。
1=3−2×11 = 3 - 2 \times 1
2=8−3×22 = 8 - 3 \times 2
3=11−8×13 = 11 - 8 \times 1
上記の式を順に代入していきます。
1=3−2×1=3−(8−3×2)×1=3−8+3×2=3×3−81 = 3 - 2 \times 1 = 3 - (8 - 3 \times 2) \times 1 = 3 - 8 + 3 \times 2 = 3 \times 3 - 8
1=(11−8×1)×3−8=11×3−8×3−8=11×3−8×41 = (11 - 8 \times 1) \times 3 - 8 = 11 \times 3 - 8 \times 3 - 8 = 11 \times 3 - 8 \times 4
したがって、8×(−4)+11×3=18 \times (-4) + 11 \times 3 = 1 となります。
よって、x=−4x = -4、y=3y = 3 が解の一つです。

3. 最終的な答え

x=−4,y=3x = -4, y = 3

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