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$\frac{\pi}{3} (e^{-t}+1)^2 (e^{-t}+1)$を微分する。

解析学微分指数関数合成関数
2025/3/18

1. 問題の内容

π3(e−t+1)2(e−t+1)\frac{\pi}{3} (e^{-t}+1)^2 (e^{-t}+1)を微分する。

2. 解き方の手順

まず、関数を整理する。
f(t)=π3(e−t+1)2(e−t+1)=π3(e−t+1)3f(t) = \frac{\pi}{3} (e^{-t}+1)^2 (e^{-t}+1) = \frac{\pi}{3} (e^{-t}+1)^3
次に、合成関数の微分を行う。
f′(t)=π3⋅3(e−t+1)2⋅ddt(e−t+1)f'(t) = \frac{\pi}{3} \cdot 3 (e^{-t}+1)^2 \cdot \frac{d}{dt}(e^{-t}+1)
f′(t)=π(e−t+1)2⋅(−e−t)f'(t) = \pi (e^{-t}+1)^2 \cdot (-e^{-t})
f′(t)=−πe−t(e−t+1)2f'(t) = -\pi e^{-t} (e^{-t}+1)^2

3. 最終的な答え

f′(t)=−πe−t(e−t+1)2f'(t) = -\pi e^{-t} (e^{-t}+1)^2

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