関数 $f(t) = \frac{\pi}{3} (e^{-t} + 1)^2 (e^{-t} + 1)$ を $t$ について微分してください。

1. 問題の内容

関数 $f(t) = \frac{\pi}{3} (e^{-t} + 1)^2 (e^{-t} + 1)$ を $t$ について微分してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を整理します。

$f(t) = \frac{\pi}{3} (e^{-t} + 1)^3$

次に、合成関数の微分法を適用します。

$f'(t) = \frac{\pi}{3} \cdot 3 (e^{-t} + 1)^2 \cdot \frac{d}{dt}(e^{-t} + 1)$

$e^{-t}$ の微分は $-e^{-t}$ なので、

$\frac{d}{dt}(e^{-t} + 1) = -e^{-t}$

したがって、

$f'(t) = \frac{\pi}{3} \cdot 3 (e^{-t} + 1)^2 (-e^{-t})$

$f'(t) = -\pi e^{-t} (e^{-t} + 1)^2$

3. 最終的な答え

$f'(t) = -\pi e^{-t} (e^{-t} + 1)^2$