与えられた定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x + 3\cos^2 x} dx$ の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x + 3\cos^2 x} dx$

の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を簡単にするために、分母と分子を$\cos^2 x$で割ります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x + 3\cos^2 x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 3} dx$

$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$、$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x$なので、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{\tan^2 x + 3} dx$

ここで、$u = \tan x$と置換します。すると、$du = \sec^2 x dx$となります。また、$x = 0$のとき、$u = \tan 0 = 0$、$x = \frac{\pi}{4}$のとき、$u = \tan \frac{\pi}{4} = 1$です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u^2 + 3} du$

これは標準的な積分で、$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$です。

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u^2 + 3} du = \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{u}{\sqrt{3}} \right]_{0}^{1}$

$= \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan 0$

$\arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$、$\arctan 0 = 0$なので、

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6\sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6\sqrt{3}}$