関数 $V(t) = \frac{\pi}{3}(e^{-t}+1)^2(e^t+1)$ を $t$ について微分する。

1. 問題の内容

関数 $V(t) = \frac{\pi}{3}(e^{-t}+1)^2(e^t+1)$ を $t$ について微分する。

2. 解き方の手順

まず、$V(t)$ を展開します。

$V(t) = \frac{\pi}{3} (e^{-2t} + 2e^{-t} + 1)(e^t + 1)$

$V(t) = \frac{\pi}{3} (e^{-t} + e^{-2t} + 2 + 2e^{-t} + e^t + 1)$

$V(t) = \frac{\pi}{3} (e^t + 3 + 3e^{-t} + e^{-2t})$

次に、$V(t)$ を $t$ について微分します。

$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3} (\frac{d}{dt} e^t + 3 \frac{d}{dt} (1) + 3 \frac{d}{dt} e^{-t} + \frac{d}{dt} e^{-2t})$

$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3} (e^t + 0 + 3(-e^{-t}) + (-2e^{-2t}))$

$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3} (e^t - 3e^{-t} - 2e^{-2t})$

最後に整理します。

$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3} (e^t - 3e^{-t} - 2e^{-2t})$

3. 最終的な答え

$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3} (e^t - 3e^{-t} - 2e^{-2t})$