次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{1} \log(x^2 + 1) \, dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \log(x^2 + 1) \, dx$

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

$u = \log(x^2 + 1)$, $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{2x}{x^2+1} dx$, $v = x$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{1} \log(x^2 + 1) \, dx = \left[ x \log(x^2 + 1) \right]_0^1 - \int_{0}^{1} \frac{2x^2}{x^2+1} \, dx$

$= \left[ x \log(x^2 + 1) \right]_0^1 - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^2+1-1}{x^2+1} \, dx$

$= \left[ x \log(x^2 + 1) \right]_0^1 - 2 \int_{0}^{1} \left( 1 - \frac{1}{x^2+1} \right) \, dx$

$= \left[ x \log(x^2 + 1) \right]_0^1 - 2 \left[ x - \arctan(x) \right]_0^1$

$= (1 \cdot \log(1^2 + 1) - 0 \cdot \log(0^2 + 1)) - 2 ( (1 - \arctan(1)) - (0 - \arctan(0)) )$

$= \log(2) - 2(1 - \frac{\pi}{4})$

$= \log(2) - 2 + \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\log(2) - 2 + \frac{\pi}{2}$