与えられた極限を求めます。 $\lim_{n\to\infty} n^2 (\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n})$

1. 問題の内容

与えられた極限を求めます。

$\lim_{n\to\infty} n^2 (\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n})$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n}$ を有理化します。

$$\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n} = \frac{(\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n})(\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n})}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}}$$

$$= \frac{(n^2+n) - (n^2-n)}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}} = \frac{2n}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}}$$

したがって、

$$n^2(\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n}) = n^2 \frac{2n}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}} = \frac{2n^3}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}}$$

ここで、分母と分子を$n$で割ります。

$$= \frac{2n^3}{n(\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}})} = \frac{2n^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}}}$$

ここで、$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$$\lim_{n\to\infty} \frac{2n^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n^2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n^2}{1+1} = \lim_{n\to\infty} n^2$$

これは明らかに発散します。

しかし、別の解法を試します。

$$\frac{2n^3}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}} = \frac{2n^3}{\sqrt{n^2(1+1/n)}+\sqrt{n^2(1-1/n)}} = \frac{2n^3}{n\sqrt{1+1/n}+n\sqrt{1-1/n}} = \frac{2n^2}{\sqrt{1+1/n}+\sqrt{1-1/n}}$$

$n$が大きいとき、$1/n$は小さいので、$\sqrt{1+x} \approx 1+x/2$ という近似を使うと

$\sqrt{1+1/n} \approx 1+\frac{1}{2n}$

$\sqrt{1-1/n} \approx 1-\frac{1}{2n}$

となるので

$$\frac{2n^2}{\sqrt{1+1/n}+\sqrt{1-1/n}} \approx \frac{2n^2}{1+\frac{1}{2n}+1-\frac{1}{2n}} = \frac{2n^2}{2} = n^2$$

となるので、発散します。

テイラー展開で考えます。

$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \dots$

よって

$\sqrt{n^2+n} = n\sqrt{1+1/n} = n(1+\frac{1}{2n}-\frac{1}{8n^2}+\dots) = n+\frac{1}{2}-\frac{1}{8n}+\dots$

$\sqrt{n^2-n} = n\sqrt{1-1/n} = n(1-\frac{1}{2n}-\frac{1}{8n^2}-\dots) = n-\frac{1}{2}-\frac{1}{8n}-\dots$

$\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n} = (n+\frac{1}{2}-\frac{1}{8n}) - (n-\frac{1}{2}-\frac{1}{8n}) + \dots = 1 + O(\frac{1}{n})$

よって

$\lim_{n\to\infty} n^2 (\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n}) = \lim_{n\to\infty} n^2 (1 + O(\frac{1}{n})) = \lim_{n\to\infty} (n^2 + O(n))$

これは無限大に発散します。

もう一度計算します。

$$\lim_{n \to \infty} n^2 (\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n}) = \lim_{n \to \infty} n^2 \frac{2n}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3}{n\sqrt{1+1/n} + n\sqrt{1-1/n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{\sqrt{1+1/n} + \sqrt{1-1/n}}$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{2} = \lim_{n \to \infty} n^2 = \infty$$

3. 最終的な答え

$\infty$