関数 $V(x) = \frac{\pi}{3}(e^{-x}+1)^2(e^x+1)$ を $x$ について微分する。

1. 問題の内容

関数 $V(x) = \frac{\pi}{3}(e^{-x}+1)^2(e^x+1)$ を $x$ について微分する。

2. 解き方の手順

まず、$V(x)$を展開する。

$V(x) = \frac{\pi}{3}(e^{-2x} + 2e^{-x} + 1)(e^x+1)$

$V(x) = \frac{\pi}{3}(e^{-x} + 2 + e^x + e^{-2x} + 2e^{-x} + 1)$

$V(x) = \frac{\pi}{3}(e^x + 3e^{-x} + e^{-2x} + 3)$

次に、この式を $x$ で微分する。

$\frac{dV}{dx} = \frac{\pi}{3} \frac{d}{dx}(e^x + 3e^{-x} + e^{-2x} + 3)$

$\frac{dV}{dx} = \frac{\pi}{3} (e^x - 3e^{-x} - 2e^{-2x})$

$V'(x) = \frac{\pi}{3}(e^x - 3e^{-x} - 2e^{-2x})$

3. 最終的な答え

$\frac{dV}{dx} = \frac{\pi}{3}(e^x - 3e^{-x} - 2e^{-2x})$