円周上に点C, Pがあり、線分ABは円の直径です。ABとCPの交点をEとするとき、三角形ACEと三角形PBEが合同であることを証明する穴埋め問題を解きます。

1. 問題の内容

円周上に点C, Pがあり、線分ABは円の直径です。ABとCPの交点をEとするとき、三角形ACEと三角形PBEが合同であることを証明する穴埋め問題を解きます。

2. 解き方の手順

(ア) 対頂角が等しいので、$\angle AEC = \angle PEB$。したがって、アにはAEC、イにはPEBが入ります。

(ウ) 円周角の定理より、弧APに対する円周角は等しいので、$\angle ACP = \angle ABP$。したがって、ウにはACP、エにはABPが入ります。

(オ) AEとPEは長さが等しいとは限らないため、AE=すせとは言えません。CEとBEが等しいとも限りません。

しかし、三角形ACEと三角形PBEにおいて、

(1) $\angle AEC = \angle PEB$

(2) $\angle ACE = \angle PBE$

です。

加えて、ABは直径なので、$\angle ACB = 90^\circ$ です。また、$\angle APB = 90^\circ$ です。

ここで、三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle CAE = 180^\circ - \angle ACE - \angle AEC$

$\angle BPE = 180^\circ - \angle PBE - \angle PEB$

また、$\angle ACE = \angle PBE$, $\angle AEC = \angle PEB$より、$\angle CAE = \angle BPE$となります。

したがって、$\angle CAE = \angle BPE$

ここで、AEとBEの関係ですが、図形的にAEとBEが等しくなるケースはないので、AE=BEとは言えません。

問題文には1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいと書いてあるので、それを使うことを考えます。

$\angle ACE = \angle PBE$と$\angle CAE = \angle BPE$は示せましたが、肝心の辺がありません。

したがって、この条件では三角形の合同は示せません。

問題文に誤りがあるか、図に別の条件が隠されています。

しかし、解答群から考えると、AE=PEである必要があります。

AE=PEであれば、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△ACE ≡ △PBEと言えます。

したがって、オにはPEが入ります。

3. 最終的な答え

ア: AEC

イ: PEB

ウ: ACP

エ: ABP

オ: PE