問題は、$\triangle ABC$ が $BA=BC$ の二等辺三角形であるという条件の下で、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) $\triangle DAC \equiv \triangle ECA$ であることを証明する。 (2) $BE:EC=3:1$ のとき、$\triangle FCA$ の面積は $\triangle ABC$ の面積の何倍であるかを求める。

1. 問題の内容

問題は、$\triangle ABC$ が $BA=BC$ の二等辺三角形であるという条件の下で、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) $\triangle DAC \equiv \triangle ECA$ であることを証明する。

(2) $BE:EC=3:1$ のとき、$\triangle FCA$ の面積は $\triangle ABC$ の面積の何倍であるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle DAC$ と $\triangle ECA$ の合同を示す。

* 仮定より、$AD = CE$ である。

* $\triangle ABC$ は二等辺三角形なので、$\angle BAC = \angle BCA$ である。

* $AC$ は共通である。

* したがって、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle DAC \equiv \triangle ECA$ である。

(2) $BE:EC=3:1$ のとき、$\triangle FCA$ の面積が $\triangle ABC$ の面積の何倍であるかを求める。

* $BC = BE + EC$ であり、$BE:EC=3:1$ なので、$BC = 4EC$ となる。したがって、$EC = \frac{1}{4}BC$ である。また、$BE = \frac{3}{4}BC$である。

* $AD = CE$ なので、$AD = \frac{1}{4}BC = \frac{1}{4}AB$ である。したがって、$BD = AB - AD = AB - \frac{1}{4}AB = \frac{3}{4}AB$ である。

* $\triangle ABC$ の面積を $S$ とおく。

* メネラウスの定理より、$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CG}{GA} = 1$ (ただし、CGとGAはそれぞれ線分CDを延長したときに直線AEと交わる点Gまでの距離)。ここで、GとAは同じ点なので、AC/CA = 1 を代入する。

* $CG/GA$ ではなく、$AE$と$CD$の交点をFとして、$AC$と$BF$の交点をGとした場合、$AD/DB \times BG/GC \times CE/EA=1$という関係性も導ける。

* $\frac{AD}{DB} = \frac{1/4 AB}{3/4 AB} = \frac{1}{3}$

* $\frac{BE}{EC} = \frac{3}{1} = 3$

* $\triangle AFC$の面積を求めるために高さを共有する三角形の面積比を考える。

* $\triangle ADC = \frac{AD}{AB} \triangle ABC = \frac{1}{4}S$

* $\triangle AEC = \frac{EC}{BC} \triangle ABC = \frac{1}{4}S$

* $AF:FE$ を求める。$\triangle ADF$と$\triangle ECF$を考える。$\angle DAF = \angle FEC$ (錯角) である。$\angle AFD = \angle CFE$ (対頂角) なので、$\triangle ADF$と$\triangle ECF$は相似である。

* $AD:EC = 1:1$ なので、$\triangle ADF$と$\triangle ECF$は合同である。したがって、$AF:FE = CD:CD = 1:1$

* $\triangle ACF = \frac{AF}{AE} \triangle ACE = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} S = \frac{1}{8} S$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle DAC \equiv \triangle ECA$ である。（証明終わり）

(2) $\triangle FCA$ の面積は $\triangle ABC$ の面積の $\frac{1}{8}$ 倍である。