$\triangle ABC$ と点 $P$ に対して、等式 $6\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{BP} + 2\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ が成り立つとき、点 $P$ はどのような位置にあるか。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ と点 $P$ に対して、等式 $6\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{BP} + 2\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ が成り立つとき、点 $P$ はどのような位置にあるか。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $\overrightarrow{AP}$ を使って表します。

$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}$

これらを $6\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{BP} + 2\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ に代入すると、

$6\overrightarrow{AP} + 3(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) + 2(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}$

$6\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AP} - 2\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$

$11\overrightarrow{AP} = 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}$

したがって、

$\overrightarrow{AP} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{11}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{3+2} \cdot \frac{5}{11}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{5}{11} \cdot \frac{3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{5}$

ここで、線分 $BC$ を $2:3$ に内分する点を $D$ とすると、

$\overrightarrow{AD} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{5}$

よって、

$\overrightarrow{AP} = \frac{5}{11} \overrightarrow{AD}$

これは、点 $P$ が線分 $AD$ を $5:6$ に内分する点であることを示します。

3. 最終的な答え

点 $P$ は線分 $BC$ を $2:3$ に内分する点を $D$ とすると、線分 $AD$ を $5:6$ に内分する点である。