座標平面上に3点O(0, 0), A(1, 3), B(4, 0)がある。線分ABを2:1に内分する点をP, 線分ABを7:4に外分する点をQとする。 (1) 点P, Qの座標を求める。 (2) 3点O, P, Qを通る円Cの方程式を求める。線分OPの垂直二等分線の方程式, 線分PQの垂直二等分線の方程式を求め, 円Cの方程式を導出する。 (3) 直線 $3x + 5y - 23 = 0$ に関して円Cと対称な円の方程式を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に3点O(0, 0), A(1, 3), B(4, 0)がある。線分ABを2:1に内分する点をP, 線分ABを7:4に外分する点をQとする。

(1) 点P, Qの座標を求める。

(2) 3点O, P, Qを通る円Cの方程式を求める。線分OPの垂直二等分線の方程式, 線分PQの垂直二等分線の方程式を求め, 円Cの方程式を導出する。

(3) 直線 $3x + 5y - 23 = 0$ に関して円Cと対称な円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標は、線分ABを2:1に内分するので、内分点の公式より

$P = (\frac{2 \times 4 + 1 \times 1}{2 + 1}, \frac{2 \times 0 + 1 \times 3}{2 + 1}) = (\frac{9}{3}, \frac{3}{3}) = (3, 1)$

点Qの座標は、線分ABを7:4に外分するので、外分点の公式より

$Q = (\frac{7 \times 4 - 4 \times 1}{7 - 4}, \frac{7 \times 0 - 4 \times 3}{7 - 4}) = (\frac{24}{3}, \frac{-12}{3}) = (8, -4)$

(2) 点O(0, 0), P(3, 1)を通る線分OPの垂直二等分線を求める。

OPの中点は $(\frac{0+3}{2}, \frac{0+1}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$

OPの傾きは $\frac{1-0}{3-0} = \frac{1}{3}$

OPの垂直二等分線の傾きは $-3$

よってOPの垂直二等分線の方程式は

$y - \frac{1}{2} = -3(x - \frac{3}{2})$

$y = -3x + \frac{9}{2} + \frac{1}{2}$

$y = -3x + 5$

線分PQの垂直二等分線を求める。

P(3, 1), Q(8, -4)の中点は $(\frac{3+8}{2}, \frac{1+(-4)}{2}) = (\frac{11}{2}, -\frac{3}{2})$

PQの傾きは $\frac{-4-1}{8-3} = \frac{-5}{5} = -1$

PQの垂直二等分線の傾きは $1$

よってPQの垂直二等分線の方程式は

$y - (-\frac{3}{2}) = 1(x - \frac{11}{2})$

$y = x - \frac{11}{2} - \frac{3}{2}$

$y = x - 7$

2つの垂直二等分線の交点を求める。

$-3x + 5 = x - 7$

$4x = 12$

$x = 3$

$y = 3 - 7 = -4$

円の中心は (3, -4)

円の半径の2乗は、中心(3, -4)と原点(0, 0)の距離の2乗に等しいので、

$r^2 = (3-0)^2 + (-4-0)^2 = 9 + 16 = 25$

円Cの方程式は $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$

(3) 直線 $3x + 5y - 23 = 0$ に関して円C $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$ と対称な円の方程式を求める。

円の中心 (3, -4) を直線 $3x + 5y - 23 = 0$ に関して対称な点の座標を(a, b)とする。

(a, b)と(3, -4)の中点 $(\frac{a+3}{2}, \frac{b-4}{2})$ が直線 $3x + 5y - 23 = 0$ 上にあるので、

$3(\frac{a+3}{2}) + 5(\frac{b-4}{2}) - 23 = 0$

$3(a+3) + 5(b-4) - 46 = 0$

$3a + 9 + 5b - 20 - 46 = 0$

$3a + 5b - 57 = 0$

また、直線 $3x + 5y - 23 = 0$ と直線 (3, -4) と (a, b)を通る直線が垂直なので、

直線の傾きの積が-1となる。

$3x + 5y - 23 = 0$ より $5y = -3x + 23$

$y = -\frac{3}{5}x + \frac{23}{5}$ なので、直線の傾きは $-\frac{3}{5}$

(3, -4) と (a, b)を通る直線の傾きは $\frac{b - (-4)}{a - 3} = \frac{b + 4}{a - 3}$

$\frac{b + 4}{a - 3} \times (-\frac{3}{5}) = -1$

$b + 4 = \frac{5}{3}(a - 3)$

$3b + 12 = 5a - 15$

$5a - 3b - 27 = 0$

$3a + 5b - 57 = 0$

$5a - 3b - 27 = 0$

上の式を3倍, 下の式を5倍して

$9a + 15b - 171 = 0$

$25a - 15b - 135 = 0$

足すと

$34a - 306 = 0$

$a = \frac{306}{34} = 9$

$3(9) + 5b - 57 = 0$

$27 + 5b - 57 = 0$

$5b = 30$

$b = 6$

対称な円の中心は (9, 6) なので、対称な円の方程式は

$(x - 9)^2 + (y - 6)^2 = 25$

3. 最終的な答え

(1) Pの座標: (3, 1)

Qの座標: (8, -4)

(2) OPの垂直二等分線: $y = -3x + 5$

PQの垂直二等分線: $y = x - 7$

円Cの方程式: $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$

(3) 対称な円の方程式: $(x - 9)^2 + (y - 6)^2 = 25$