$\frac{\pi}{3} (-3e^t -2e^{-2t} +e^t)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{3} (-3e^t -2e^{-2t} +e^t)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$\frac{\pi}{3} (-3e^t -2e^{-2t} +e^t) = \frac{\pi}{3} (-2e^t -2e^{-2t})$

共通因数 $-2$ を括り出します。

$\frac{\pi}{3} (-2e^t -2e^{-2t}) = \frac{-2\pi}{3} (e^t +e^{-2t})$

次に、$e^t$ でくくります。

$\frac{-2\pi}{3} (e^t +e^{-2t}) = \frac{-2\pi}{3} e^{-2t} (e^{3t}+1)$

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$を利用します。

$\frac{-2\pi}{3}e^{-2t}(e^{3t}+1)=\frac{-2\pi}{3}e^{-2t}(e^t+1)(e^{2t}-e^t+1)$

3. 最終的な答え

$\frac{-2\pi}{3} e^{-2t} (e^t +1) (e^{2t} - e^t + 1)$