与えられた式 $\frac{\pi}{3}(-3e^t - 2e^{-2t} + e^t)$ を $\frac{\pi}{3}(e^{-t}+1)^2 (e^t-2)$ に因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\pi}{3}(-3e^t - 2e^{-2t} + e^t)$ を $\frac{\pi}{3}(e^{-t}+1)^2 (e^t-2)$ に因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、因数分解する式 $\frac{\pi}{3}(-3e^t - 2e^{-2t} + e^t)$ を整理します。

$\frac{\pi}{3}(-3e^t - 2e^{-2t} + e^t) = \frac{\pi}{3}(-2e^t - 2e^{-2t}) = -\frac{2\pi}{3}(e^t + e^{-2t})$

次に、右辺の式を展開します。

$\frac{\pi}{3}(e^{-t}+1)^2 (e^t-2) = \frac{\pi}{3}(e^{-2t}+2e^{-t}+1)(e^t-2) = \frac{\pi}{3}(e^{-t}-2e^{-2t}+2-4e^{-t}+e^t-2) = \frac{\pi}{3}(e^t - 3e^{-t} - 2e^{-2t})$

求めるべきは $-\frac{2\pi}{3}(e^t + e^{-2t})$ を $\frac{\pi}{3}(e^{-t}+1)^2 (e^t-2) = \frac{\pi}{3}(e^t - 3e^{-t} - 2e^{-2t})$ の形にすることですが、これは明らかに異なります。

与えられた式を因数分解することを考えます。

$-\frac{2\pi}{3}(e^t + e^{-2t}) = -\frac{2\pi}{3}(e^t + \frac{1}{e^{2t}}) = -\frac{2\pi}{3} \frac{e^{3t} + 1}{e^{2t}} = -\frac{2\pi}{3} \frac{(e^t + 1)(e^{2t} - e^t + 1)}{e^{2t}}$

与えられた右辺の式は $\frac{\pi}{3}(e^{-t}+1)^2 (e^t-2) = \frac{\pi}{3}(e^{-2t}+2e^{-t}+1)(e^t-2) = \frac{\pi}{3}(1+2e^t+e^{2t}-2e^{-2t}-4e^{-t}-2e^{-t}) = \frac{\pi}{3}(e^t-2)(e^{-t}+1)^2$

$=\frac{\pi}{3}(e^t-2)(e^{-2t}+2e^{-t}+1) = \frac{\pi}{3}(e^{-t}+2+e^t-2e^{-2t}-4e^{-t}-2) = \frac{\pi}{3}(e^t-3e^{-t}-2e^{-2t})$

問題の意図は不明ですが、式が異なるため因数分解することはできません。

問題文にタイプミスがある可能性があります。

3. 最終的な答え

与えられた条件では因数分解できません。

与えられた式を整理した結果は $-\frac{2\pi}{3}(e^t + e^{-2t})$ です。