$\frac{\pi}{3} (-3e^t - 2e^{-2t} + e^t)$ を $\frac{\pi}{3} (e^t + 1)^2 (e^t - 2)$ に因数分解せよという問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{3} (-3e^t - 2e^{-2t} + e^t)$ を $\frac{\pi}{3} (e^t + 1)^2 (e^t - 2)$ に因数分解せよという問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$\frac{\pi}{3} (-3e^t - 2e^{-2t} + e^t) = \frac{\pi}{3} (-2e^t - 2e^{-2t})$

次に、$\frac{\pi}{3}$ で括り出します。

$\frac{\pi}{3} (-2e^t - 2e^{-2t}) = \frac{\pi}{3} (-2) (e^t + e^{-2t})$

ここで、$e^{-2t} = \frac{1}{e^{2t}}$ なので、

$e^t + e^{-2t} = e^t + \frac{1}{e^{2t}}$

通分して、

$e^t + \frac{1}{e^{2t}} = \frac{e^{3t} + 1}{e^{2t}}$

したがって、

$\frac{\pi}{3} (-2e^t - 2e^{-2t}) = \frac{\pi}{3} (-2) \frac{e^{3t} + 1}{e^{2t}}$

ここで、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を用いると、

$e^{3t} + 1 = (e^t)^3 + 1^3 = (e^t + 1)(e^{2t} - e^t + 1)$

元の式 $\frac{\pi}{3} (e^t + 1)^2 (e^t - 2)$ と比較してみます。

$\frac{\pi}{3} (e^t + 1)^2 (e^t - 2) = \frac{\pi}{3} (e^{2t} + 2e^t + 1)(e^t - 2) = \frac{\pi}{3} (e^{3t} - 2e^{2t} + 2e^{2t} - 4e^t + e^t - 2) = \frac{\pi}{3} (e^{3t} - 3e^t - 2)$

問題文に誤りがあるか、もしくは他に解き方があると考えられます。

しかし、指示に従い、与えられた形式で回答します。

3. 最終的な答え

問題文の指示が不明確なため、因数分解は完了できません。

与えられた式 $\frac{\pi}{3} (e^t + 1)^2 (e^t - 2)$ を展開すると $\frac{\pi}{3} (e^{3t} - 3e^t - 2)$ となります。

$\frac{\pi}{3} (-3e^t - 2e^{-2t} + e^t) = \frac{\pi}{3} (-2e^t - 2e^{-2t}) = -2 \frac{\pi}{3} (e^t + e^{-2t})$

元の式と目標の式は一致しません。