直線 $l_1: 2x + 3y = 13$ に関して、原点 $O(0, 0)$ と対称な点 $R(p, q)$ の座標 $p, q$ を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l_1: 2x + 3y = 13$ に関して、原点 $O(0, 0)$ と対称な点 $R(p, q)$ の座標 $p, q$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分ORの中点をMとする。Mの座標は $(\frac{p}{2}, \frac{q}{2})$ となる。

Mは直線 $l_1$ 上にあるので、 $l_1$ の式に代入すると、

$2(\frac{p}{2}) + 3(\frac{q}{2}) = 13$

$p + \frac{3}{2}q = 13$

$2p + 3q = 26$ ...(1)

(2) 直線ORと直線 $l_1$ は直交する。直線ORの傾きは $\frac{q}{p}$ であり、$l_1$の傾きは $-\frac{2}{3}$である。

直交条件より、 $\frac{q}{p} \times (-\frac{2}{3}) = -1$

$\frac{2q}{3p} = 1$

$2q = 3p$ ...(2)

(3) (1)と(2)の連立方程式を解く。

(2)より、$q = \frac{3}{2}p$

(1)に代入して、

$2p + 3(\frac{3}{2}p) = 26$

$2p + \frac{9}{2}p = 26$

$4p + 9p = 52$

$13p = 52$

$p = 4$

$q = \frac{3}{2} \times 4 = 6$

3. 最終的な答え

$p = 4, q = 6$