与えられた式 $\frac{\pi}{3}(e^t - 3e^{-t} - 2e^{-2t})$ を因数分解せよ。右辺に与えられた $\frac{\pi}{3}(e^{-t} + 1)^2(e^t - 2)$ が解であるかを確認する問題とも解釈できます。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\pi}{3}(e^t - 3e^{-t} - 2e^{-2t})$ を因数分解せよ。右辺に与えられた $\frac{\pi}{3}(e^{-t} + 1)^2(e^t - 2)$ が解であるかを確認する問題とも解釈できます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $\frac{\pi}{3}(e^t - 3e^{-t} - 2e^{-2t})$ を変形します。

$e^{-t}=x$ とおくと、$e^t = \frac{1}{x}$ となります。与えられた式は

$\frac{\pi}{3}(\frac{1}{x} - 3x - 2x^2)$

と書けます。$\frac{\pi}{3}$ を除いた部分を変形します。

$\frac{1}{x} - 3x - 2x^2 = \frac{1 - 3x^2 - 2x^3}{x} = \frac{-2x^3 - 3x^2 + 1}{x}$

分子 $-2x^3 - 3x^2 + 1$ を因数分解します。$x=-1$ を代入すると $-2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$ より、$x+1$ を因数に持ちます。組み立て除法を用いると、

$-2x^3 - 3x^2 + 1 = (x+1)(-2x^2-x+1)$

となります。さらに、$-2x^2-x+1 = -(2x^2 + x - 1) = -(2x-1)(x+1)$ と因数分解できるので、

$-2x^3 - 3x^2 + 1 = -(x+1)^2(2x-1)$

となります。したがって、

$\frac{-2x^3 - 3x^2 + 1}{x} = \frac{-(x+1)^2(2x-1)}{x}$

$x = e^{-t}$ を代入して

$\frac{-(e^{-t}+1)^2(2e^{-t}-1)}{e^{-t}} = \frac{-(e^{-t}+1)^2(2e^{-t}-1)}{e^{-t}} = -(e^{-t}+1)^2(2-e^t)$

$= (e^{-t}+1)^2(e^t-2)$

与えられた式全体は

$\frac{\pi}{3}(e^{-t}+1)^2(e^t-2)$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3}(e^t - 3e^{-t} - 2e^{-2t}) = \frac{\pi}{3}(e^{-t} + 1)^2(e^t - 2)$