全体集合$U$を1から20までの自然数の集合とする。$U$の部分集合$A, B$が、$A = \{2n+1 \mid n \text{は自然数}\}$、$B = \{3n \mid n \text{は自然数}\}$であるとき、 (1) 集合$A \cap B$を要素を書き並べて表す。 (2) $C \subseteq A \cap B$となる集合$C$は、空集合も含めて何通り考えられるかを求める。

1. 問題の内容

全体集合$U$を1から20までの自然数の集合とする。$U$の部分集合$A, B$が、$A = \{2n+1 \mid n \text{は自然数}\}$、$B = \{3n \mid n \text{は自然数}\}$であるとき、

(1) 集合$A \cap B$を要素を書き並べて表す。

(2) $C \subseteq A \cap B$となる集合$C$は、空集合も含めて何通り考えられるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、集合$A$と$B$の要素をそれぞれ書き出す。$A$は奇数の集合で、$1 \le 2n+1 \le 20$より、$0 \le 2n \le 19$、$0 \le n \le 9.5$となるので、$n$は1から9までの自然数を取り、$A = \{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19\}$である。$B$は3の倍数の集合で、$1 \le 3n \le 20$より、$1/3 \le n \le 20/3$、$0.333 \le n \le 6.666$となるので、$n$は1から6までの自然数を取り、$B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$である。

次に、$A \cap B$を求める。$A$と$B$に共通の要素は、$3, 9, 15$なので、$A \cap B = \{3, 9, 15\}$となる。

(2) $C \subseteq A \cap B$となる集合$C$は、$A \cap B$の部分集合である。$A \cap B$の要素の数は3個なので、部分集合の数は$2^3 = 8$個である。これは、空集合$\emptyset$を含む。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{3, 9, 15\}$

(2) 8通り