定積分 $\int_{0}^{1} \log(x^2+1) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \log(x^2+1) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。

$\int u dv = uv - \int v du$

$u = \log(x^2+1)$, $dv = dx$ とすると、

$du = \frac{2x}{x^2+1} dx$, $v = x$

$\int_{0}^{1} \log(x^2+1) \, dx = [x \log(x^2+1)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2x^2}{x^2+1} dx$

$= 1 \cdot \log(1^2+1) - 0 \cdot \log(0^2+1) - \int_{0}^{1} \frac{2x^2}{x^2+1} dx$

$= \log(2) - \int_{0}^{1} \frac{2x^2}{x^2+1} dx$

ここで、$\int_{0}^{1} \frac{2x^2}{x^2+1} dx = \int_{0}^{1} \frac{2(x^2+1-1)}{x^2+1} dx = \int_{0}^{1} 2 - \frac{2}{x^2+1} dx$

$= [2x - 2\arctan(x)]_{0}^{1} = (2(1) - 2\arctan(1)) - (2(0) - 2\arctan(0))$

$= 2 - 2(\frac{\pi}{4}) = 2 - \frac{\pi}{2}$

よって、

$\int_{0}^{1} \log(x^2+1) \, dx = \log(2) - (2 - \frac{\pi}{2}) = \log(2) - 2 + \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\log(2) - 2 + \frac{\pi}{2}$