問題は、次の対数の積を計算することです。 $log_9 2 \cdot log_{25} 3 \cdot log_8 125$

1. 問題の内容

問題は、次の対数の積を計算することです。

$log_9 2 \cdot log_{25} 3 \cdot log_8 125$

2. 解き方の手順

対数の底の変換公式を利用します。底の変換公式は次の通りです。

$log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$

ここで、底を10に変換してみます。

$log_9 2 = \frac{log 2}{log 9} = \frac{log 2}{log 3^2} = \frac{log 2}{2log 3}$

$log_{25} 3 = \frac{log 3}{log 25} = \frac{log 3}{log 5^2} = \frac{log 3}{2log 5}$

$log_8 125 = \frac{log 125}{log 8} = \frac{log 5^3}{log 2^3} = \frac{3log 5}{3log 2} = \frac{log 5}{log 2}$

したがって、

$log_9 2 \cdot log_{25} 3 \cdot log_8 125 = \frac{log 2}{2log 3} \cdot \frac{log 3}{2log 5} \cdot \frac{log 5}{log 2} = \frac{log 2 \cdot log 3 \cdot log 5}{2log 3 \cdot 2log 5 \cdot log 2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$