与えられた数学の問題は、因数分解、必要条件・十分条件、三角比、組み合わせ、統計に関するものです。具体的には以下の5つの小問から構成されます。 (1) $3x^2 - 2xy - y^2$ を因数分解する。 (2) $|x| < 1$ は $x > -2$ であるための何条件かを答える。 (3) $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形ABCにおいて、$AC = 5$, $BC = 12$, $\angle A = \theta$ のとき、$\tan \theta$ と $\sin \theta$ を求める。 (4) 大人5人、子ども4人から3人を選ぶとき、選んだ3人がすべて大人となる選び方と、大人も子どもも含まれる選び方の総数を求める。 (5) 7個のデータ7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1 において、中央値が16であるとき、$a$ の値と四分位範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、因数分解、必要条件・十分条件、三角比、組み合わせ、統計に関するものです。具体的には以下の5つの小問から構成されます。

(1) $3x^2 - 2xy - y^2$ を因数分解する。

(2) $|x| < 1$ は $x > -2$ であるための何条件かを答える。

(3) $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形ABCにおいて、$AC = 5$, $BC = 12$, $\angle A = \theta$ のとき、$\tan \theta$ と $\sin \theta$ を求める。

(4) 大人5人、子ども4人から3人を選ぶとき、選んだ3人がすべて大人となる選び方と、大人も子どもも含まれる選び方の総数を求める。

(5) 7個のデータ7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1 において、中央値が16であるとき、$a$ の値と四分位範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解

$3x^2 - 2xy - y^2 = (3x + y)(x - y)$

(2) 必要条件・十分条件

$|x| < 1$ は $-1 < x < 1$ を意味します。

$x > -2$

$-1 < x < 1$ ならば $x > -2$ は成り立ちます。

しかし、$x > -2$ でも $|x| < 1$ は成り立つとは限りません（例：$x = 2$）。

したがって、$|x| < 1$ は $x > -2$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

答えは3です。

(3) 三角比

直角三角形ABCにおいて、$AC = 5$, $BC = 12$ なので、三平方の定理より $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ です。

$\tan \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}$

$\sin \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$

(4) 組み合わせ

3人すべてが大人となる選び方は、$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

3人の選び方の総数は $_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ 通りです。

大人も子どもも含まれる選び方は、選び方の総数から3人すべてが子どもである場合を除いた数です。3人すべてが子どもである選び方は $_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$ 通りです。

したがって、大人も子どもも含まれる選び方は $84 -$_4C_3 = 84-4 = 80$ 通りです。

(5) 統計

7個のデータを小さい順に並べます。

$a-15$, $a+1$ の大小関係が不明なので場合分けします。中央値が16なので、$a-15$と$a+1$は12と22の間に入る必要があります。

$a-15 < a+1$ なので、小さい順に並べると

7, 9, 12, a-15, a+1, 22, 34 (順不同)

中央値は4番目の値なので、$a+1 = 16$ となり、$a = 15$ です。

このとき、$a-15 = 0$ となり、データは 7, 9, 12, 16, 22, 34, 0 となり、小さい順に並べると 0, 7, 9, 12, 16, 22, 34 となります。中央値は12です。

したがって$a-15<16<a+1$となるように並べ替えると、データは小さい順に $7, 9, 12, a-15, a+1, 22, 34$ となります。中央値は16なので、$a-15 < 16 < a+1$ かつ 7, 9, 12, 22, 34 の並び順を考慮すると、中央値が16となるのは、$a-15$と$a+1$の並び順が確定しないため、以下の2パターンが考えられます。

- パターン1：$a-15 < 16, a+1 = 16 \rightarrow a = 15$, このとき、データは 7, 9, 12, 0, 16, 22, 34となり中央値が12になってしまうため不適

- パターン2：$a+1 > 16$, 元のデータの中央値が16になるためには、$12 < a-15 < 22$かつ$12 < a+1 < 22$となる必要があり、中央値が $(a+1+a-15)/2 = 16$, ゆえに $a = (16*2 + 15 - 1)/2 = (32+14)/2 = 46/2 = 23$

このとき、データは 7, 9, 12, 22, 34, 8, 24 となります。

並び替えると 7, 8, 9, 12, 22, 24, 34。中央値は12となり、条件と一致しません。

データが小さい順に並べられているとして, 中央値は4番目の値であるから, $a-15, a+1$ のどちらかが 16 であるはずである.

a+1 = 16 ならば a = 15 であり, a-15 = 0 となるからデータは 0, 7, 9, 12, 15+1, 22, 34 となり, 並べ替えると 0, 7, 9, 12, 16, 22, 34 となり中央値が 12 となるため不適.

a-15 = 16 ならば a = 31 であり, a+1 = 32 となるからデータは 7, 9, 12, 22, 34, 16, 32 となり, 並べ替えると 7, 9, 12, 16, 22, 32, 34 となり中央値は 16 となる.

よって, a =

3

1. 四分位範囲は第3四分位数 - 第1四分位数で求められる.

第1四分位数は (9+12)/2 = 10.5, 第3四分位数は (32+22)/2 =

2

7. したがって四分位範囲は 27 - 10.5 = 16.

5.

3. 最終的な答え

(1) $(3x + y)(x - y)$

(2) 3

(3) $\tan \theta = \frac{12}{5}$, $\sin \theta = \frac{12}{13}$

(4) 10通り, 80通り

(5) $a = 31$, 四分位範囲 16.5