空間座標における3点A(1, -1, 0), B(1, 1, 4), C(4, 3, 5)が与えられ、平面OABに関して点Cと対称な点をDとする。 (1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$と三角形OABの面積を求める。 (2) $\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC}$の形で表し、平面OABに関して点Dと点Cが対称であることから、uの値、$\vec{CD} \cdot \vec{OA}$, $\vec{CD} \cdot \vec{OB}$, s, tの値を求める。 (3) 点Cと点Dの間の距離、および四面体OABCの体積を求める。 (4) 三角形ABCの面積、および三角形ABCを底面とする三角錐O-ABCの高さを求める。 (5) 4点A, B, C, Dすべてを通る球面の中心のz座標、および半径を求める。

1. 問題の内容

空間座標における3点A(1, -1, 0), B(1, 1, 4), C(4, 3, 5)が与えられ、平面OABに関して点Cと対称な点をDとする。

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$と三角形OABの面積を求める。

(2) $\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC}$の形で表し、平面OABに関して点Dと点Cが対称であることから、uの値、$\vec{CD} \cdot \vec{OA}$, $\vec{CD} \cdot \vec{OB}$, s, tの値を求める。

(3) 点Cと点Dの間の距離、および四面体OABCの体積を求める。

(4) 三角形ABCの面積、および三角形ABCを底面とする三角錐O-ABCの高さを求める。

(5) 4点A, B, C, Dすべてを通る球面の中心のz座標、および半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OA} = (1, -1, 0)$, $\vec{OB} = (1, 1, 4)$より、$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 4 = 1 - 1 + 0 = 0$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は直交する。

三角形OABの面積は$\frac{1}{2} |\vec{OA}| |\vec{OB}| = \frac{1}{2} \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{18} = \frac{1}{2} \sqrt{36} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$

(2) 点Cと点Dが平面OABに関して対称なので、$u = -\frac{1}{2}$. $\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB} - \frac{1}{2}\vec{OC}$

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = s\vec{OA} + t\vec{OB} - \frac{1}{2}\vec{OC} - \vec{OC} = s\vec{OA} + t\vec{OB} - \frac{3}{2}\vec{OC}$

$\vec{CD} \cdot \vec{OA} = 0$より、$s |\vec{OA}|^2 + t (\vec{OB} \cdot \vec{OA}) - \frac{3}{2} (\vec{OC} \cdot \vec{OA}) = 0$

$|\vec{OA}|^2 = 2$, $\vec{OB} \cdot \vec{OA} = 0$, $\vec{OC} \cdot \vec{OA} = 4 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 5 \cdot 0 = 4 - 3 = 1$

$2s - \frac{3}{2} \cdot 1 = 0$より、$s = \frac{3}{4}$

$\vec{CD} \cdot \vec{OB} = 0$より、$s (\vec{OA} \cdot \vec{OB}) + t |\vec{OB}|^2 - \frac{3}{2} (\vec{OC} \cdot \vec{OB}) = 0$

$|\vec{OB}|^2 = 1 + 1 + 16 = 18$, $\vec{OC} \cdot \vec{OB} = 4 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 4 = 4 + 3 + 20 = 27$

$18t - \frac{3}{2} \cdot 27 = 0$より、$t = \frac{3}{2} \cdot \frac{27}{18} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$

(3) $\vec{OD} = \frac{3}{4} \vec{OA} + \frac{9}{4} \vec{OB} - \frac{1}{2} \vec{OC}$

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = \frac{3}{4} \vec{OA} + \frac{9}{4} \vec{OB} - \frac{3}{2} \vec{OC}$

$\vec{CD} = (\frac{3}{4} \cdot 1 + \frac{9}{4} \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot 4, \frac{3}{4} \cdot (-1) + \frac{9}{4} \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot 3, \frac{3}{4} \cdot 0 + \frac{9}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 5) = (\frac{3+9-24}{4}, \frac{-3+9-18}{4}, \frac{36-30}{4}) = (-\frac{12}{4}, -\frac{12}{4}, \frac{6}{4}) = (-3, -3, \frac{3}{2})$

$|\vec{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{9 + 9 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{36 + 36 + 9}{4}} = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2}$

四面体OABCの体積は$\frac{1}{6} |(\vec{OA} \times \vec{OB}) \cdot \vec{OC}| = \frac{1}{6} |(0, -4, 2) \cdot (4, 3, 5)|$

$\vec{OA} \times \vec{OB} = (-4, -4, 2)$

$\frac{1}{6} |(-4, -4, 2) \cdot (4, 3, 5)| = \frac{1}{6} |(-16 - 12 + 10)| = \frac{1}{6} |-18| = 3$

(4) $\vec{AB} = (0, 2, 4)$, $\vec{AC} = (3, 4, 5)$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = (-4, 12, -6)$

三角形ABCの面積は$\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-4)^2 + 12^2 + (-6)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 144 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{196} = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$

三角形ABCを底面とする三角錐O-ABCの高さhとすると、体積は$\frac{1}{3} \cdot (7 \sqrt{4}) \cdot h = 3$より、$h = \frac{9}{14}$.

$7\sqrt{4}$

(5) 球面の中心をP(x, y, z)とする。PA = PB = PC = PD

$PA^2 = (x-1)^2 + (y+1)^2 + z^2$, $PB^2 = (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-4)^2$

$PC^2 = (x-4)^2 + (y-3)^2 + (z-5)^2$, $PD^2 = (x+3)^2 + (y+3)^2 + (z-\frac{3}{2})^2$

$PA^2 = PB^2$より、$(y+1)^2 + z^2 = (y-1)^2 + (z-4)^2$

$y^2 + 2y + 1 + z^2 = y^2 - 2y + 1 + z^2 - 8z + 16$

$4y + 8z - 16 = 0$より、$y = -2z + 4$

$PA^2 = PC^2$より、$(x-1)^2 + (y+1)^2 + z^2 = (x-4)^2 + (y-3)^2 + (z-5)^2$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 + z^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 + z^2 - 10z + 25$

$6x + 8y + 10z - 48 = 0$より、$3x + 4y + 5z - 24 = 0$

$3x + 4(-2z + 4) + 5z - 24 = 0$より、$3x - 8z + 16 + 5z - 24 = 0$, $3x - 3z - 8 = 0$より、$x = z + \frac{8}{3}$

$PA^2 = PD^2$より、$(x-1)^2 + (y+1)^2 + z^2 = (x+3)^2 + (y+3)^2 + (z-\frac{3}{2})^2$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 + z^2 = x^2 + 6x + 9 + y^2 + 6y + 9 + z^2 - 3z + \frac{9}{4}$

$-8x - 4y + 3z - \frac{65}{4} = 0$より、$-32x - 16y + 12z - 65 = 0$

$-32(z+\frac{8}{3}) - 16(-2z+4) + 12z - 65 = 0$

$-32z - \frac{256}{3} + 32z - 64 + 12z - 65 = 0$

$12z = \frac{256}{3} + 129 = \frac{256 + 387}{3} = \frac{643}{3}$

$z = \frac{643}{36}$

$y = -2z + 4 = -2 \cdot \frac{643}{36} + 4 = \frac{-643}{18} + \frac{72}{18} = \frac{-571}{18}$

$x = z + \frac{8}{3} = \frac{643}{36} + \frac{96}{36} = \frac{739}{36}$

球面の中心のz座標は$\frac{643}{36}$.

半径は$PA = \sqrt{(\frac{739}{36} - 1)^2 + (\frac{-571}{18} + 1)^2 + (\frac{643}{36})^2} = \sqrt{(\frac{703}{36})^2 + (\frac{-553}{18})^2 + (\frac{643}{36})^2} = \sqrt{(\frac{703}{36})^2 + (\frac{-1106}{36})^2 + (\frac{643}{36})^2} = \frac{\sqrt{494209 + 1223236 + 413449}}{36} = \frac{\sqrt{2130894}}{36} = \frac{\sqrt{2 \cdot 1065447}}{36}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$

三角形OABの面積 = 3

(2) $u = -\frac{1}{2}$

$\vec{CD} \cdot \vec{OA} = 0$

$\vec{CD} \cdot \vec{OB} = 0$

$s = \frac{3}{4}$

$t = \frac{9}{4}$

(3) 点Cと点Dの間の距離 = $\frac{9}{2}$

四面体OABCの体積 = 3

(4) 三角形ABCの面積 = $7 \sqrt{4} = 14$

三角錐O-ABCの高さ = $\frac{9}{14} \sqrt{1} = \frac{9}{14}$

(5) 球面の中心のz座標 = $\frac{643}{36}$

半径 = $\frac{\sqrt{2130894}}{36}$