不定積分 $\int e^{-2x} \sin 3x \, dx$ を求めよ。

解析学不定積分部分積分指数関数三角関数
2025/3/18

1. 問題の内容

不定積分 e2xsin3xdx\int e^{-2x} \sin 3x \, dx を求めよ。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を2回使うことで解けます。
まず、I=e2xsin3xdxI = \int e^{-2x} \sin 3x \, dx とおきます。
部分積分を適用します。u=sin3xu = \sin 3xdv=e2xdxdv = e^{-2x} dx とすると、du=3cos3xdxdu = 3\cos 3x \, dxv=12e2xv = -\frac{1}{2}e^{-2x} となります。
すると、
I=e2xsin3xdx=12e2xsin3x(12e2x)(3cos3x)dxI = \int e^{-2x} \sin 3x \, dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} \sin 3x - \int (-\frac{1}{2}e^{-2x}) (3\cos 3x) \, dx
I=12e2xsin3x+32e2xcos3xdxI = -\frac{1}{2}e^{-2x} \sin 3x + \frac{3}{2} \int e^{-2x} \cos 3x \, dx
ここで、e2xcos3xdx\int e^{-2x} \cos 3x \, dx を計算するために、再度部分積分を行います。
u=cos3xu = \cos 3xdv=e2xdxdv = e^{-2x} dx とすると、du=3sin3xdxdu = -3\sin 3x \, dxv=12e2xv = -\frac{1}{2}e^{-2x} となります。
e2xcos3xdx=12e2xcos3x(12e2x)(3sin3x)dx\int e^{-2x} \cos 3x \, dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} \cos 3x - \int (-\frac{1}{2}e^{-2x}) (-3\sin 3x) \, dx
e2xcos3xdx=12e2xcos3x32e2xsin3xdx\int e^{-2x} \cos 3x \, dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} \cos 3x - \frac{3}{2} \int e^{-2x} \sin 3x \, dx
e2xcos3xdx=12e2xcos3x32I\int e^{-2x} \cos 3x \, dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} \cos 3x - \frac{3}{2} I
これを最初の式に代入すると、
I=12e2xsin3x+32(12e2xcos3x32I)I = -\frac{1}{2}e^{-2x} \sin 3x + \frac{3}{2} (-\frac{1}{2}e^{-2x} \cos 3x - \frac{3}{2} I)
I=12e2xsin3x34e2xcos3x94II = -\frac{1}{2}e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{4}e^{-2x} \cos 3x - \frac{9}{4} I
I+94I=12e2xsin3x34e2xcos3xI + \frac{9}{4} I = -\frac{1}{2}e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{4}e^{-2x} \cos 3x
134I=12e2xsin3x34e2xcos3x\frac{13}{4} I = -\frac{1}{2}e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{4}e^{-2x} \cos 3x
I=413(12e2xsin3x34e2xcos3x)+CI = \frac{4}{13} (-\frac{1}{2}e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{4}e^{-2x} \cos 3x) + C
I=213e2xsin3x313e2xcos3x+CI = -\frac{2}{13}e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{13}e^{-2x} \cos 3x + C
I=113e2x(2sin3x+3cos3x)+CI = -\frac{1}{13}e^{-2x} (2\sin 3x + 3\cos 3x) + C

3. 最終的な答え

113e2x(2sin3x+3cos3x)+C-\frac{1}{13}e^{-2x} (2\sin 3x + 3\cos 3x) + C

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