不定積分 $\int e^{-2x} \sin 3x \, dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int e^{-2x} \sin 3x \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を2回使うことで解けます。

まず、$I = \int e^{-2x} \sin 3x \, dx$ とおきます。

部分積分を適用します。$u = \sin 3x$、$dv = e^{-2x} dx$ とすると、$du = 3\cos 3x \, dx$、$v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ となります。

すると、

$I = \int e^{-2x} \sin 3x \, dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} \sin 3x - \int (-\frac{1}{2}e^{-2x}) (3\cos 3x) \, dx$

$I = -\frac{1}{2}e^{-2x} \sin 3x + \frac{3}{2} \int e^{-2x} \cos 3x \, dx$

ここで、$\int e^{-2x} \cos 3x \, dx$ を計算するために、再度部分積分を行います。

$u = \cos 3x$、$dv = e^{-2x} dx$ とすると、$du = -3\sin 3x \, dx$、$v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ となります。

$\int e^{-2x} \cos 3x \, dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} \cos 3x - \int (-\frac{1}{2}e^{-2x}) (-3\sin 3x) \, dx$

$\int e^{-2x} \cos 3x \, dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} \cos 3x - \frac{3}{2} \int e^{-2x} \sin 3x \, dx$

$\int e^{-2x} \cos 3x \, dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} \cos 3x - \frac{3}{2} I$

これを最初の式に代入すると、

$I = -\frac{1}{2}e^{-2x} \sin 3x + \frac{3}{2} (-\frac{1}{2}e^{-2x} \cos 3x - \frac{3}{2} I)$

$I = -\frac{1}{2}e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{4}e^{-2x} \cos 3x - \frac{9}{4} I$

$I + \frac{9}{4} I = -\frac{1}{2}e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{4}e^{-2x} \cos 3x$

$\frac{13}{4} I = -\frac{1}{2}e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{4}e^{-2x} \cos 3x$

$I = \frac{4}{13} (-\frac{1}{2}e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{4}e^{-2x} \cos 3x) + C$

$I = -\frac{2}{13}e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{13}e^{-2x} \cos 3x + C$

$I = -\frac{1}{13}e^{-2x} (2\sin 3x + 3\cos 3x) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{13}e^{-2x} (2\sin 3x + 3\cos 3x) + C$