与えられた式 $3x^2 + 4xy + y^2 + 7x + y - 6$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2 + 4xy + y^2 + 7x + y - 6$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ について整理すると、以下のようになる。

$3x^2 + (4y + 7)x + (y^2 + y - 6)$

ここで、定数項である $y^2 + y - 6$ を因数分解する。

$y^2 + y - 6 = (y + 3)(y - 2)$

次に、与えられた式が $(ax + y + 3)(bx + y - 2)$ の形に因数分解できると仮定する。ここで $a$ と $b$ は定数である。

$(ax + y + 3)(bx + y - 2) = abx^2 + (a+b)xy + x(3a - 2b) + y^2 + y - 6$

係数を比較して、$ab = 3$ および $a + b = 4$ が得られる。また、$3a - 2b = 7$ である。

$a + b = 4$ より $b = 4 - a$。これを $ab = 3$ に代入すると、

$a(4 - a) = 3$

$4a - a^2 = 3$

$a^2 - 4a + 3 = 0$

$(a - 3)(a - 1) = 0$

したがって、$a = 3$ または $a = 1$ となる。

$a=3$ のとき、$b=1$。

$3a-2b = 3(3) - 2(1) = 9 - 2 = 7$ となり、これは与えられた式の $x$ の係数と一致する。

$a=1$ のとき、$b=3$。

$3a-2b = 3(1) - 2(3) = 3 - 6 = -3$ となり、これは与えられた式の $x$ の係数と一致しない。

したがって、$a=3$、$b=1$ であるから、

$3x^2 + 4xy + y^2 + 7x + y - 6 = (3x + y + 3)(x + y - 2)$

3. 最終的な答え

$(3x + y + 3)(x + y - 2)$