(1) 一般角 $\theta$ に対する $\sin \theta$, $\cos \theta$ の定義を述べる。 (2) (1)で述べた定義に基づき、一般角 $\alpha$, $\beta$ に対して以下の加法定理を証明する。 $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

1. 問題の内容

(1) 一般角 $\theta$ に対する $\sin \theta$, $\cos \theta$ の定義を述べる。

(2) (1)で述べた定義に基づき、一般角 $\alpha$, $\beta$ に対して以下の加法定理を証明する。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

2. 解き方の手順

(1) 一般角 $\theta$ に対する $\sin \theta$, $\cos \theta$ の定義

原点を中心とする半径1の円（単位円）を考える。

$\theta$ を始線（$x$軸の正の部分）から測った角とする。

動径と単位円との交点をP$(x, y)$とするとき、

$\cos \theta = x$

$\sin \theta = y$

(2) 加法定理の証明

点Oを中心とする半径1の円（単位円）を考える。

点Aを$(1, 0)$とする。

$\angle AOX = \alpha$, $\angle XOY = \beta$となるように点X, Yをとる。

このとき、点Xの座標は$(\cos \alpha, \sin \alpha)$, 点Yの座標は$(\cos(\alpha + \beta), \sin(\alpha + \beta))$となる。

次に, $\angle AOY = \alpha + \beta$となるように点Yをとり、さらに$\angle AOB = \beta$となるように点Bをとる。Bの座標は$(\cos \beta, \sin \beta)$となる。

$\angle AOB = \beta$なので, $\triangle AOX$を原点Oを中心に$-\beta$だけ回転させたものを$\triangle A'OB$とすると, $\angle AOA'= \beta$となる。このとき、点A'は点Bと一致する。また, 点Xは$(\cos(\alpha), \sin(\alpha))$から $(\cos(\alpha - \beta), \sin(\alpha - \beta))$に移る。よって、2点B, Y間の距離は, 2点A, X間の距離に等しい。

つまり，$BY = AX$である。2点間の距離の公式より、

$AX^2 = (\cos \alpha - 1)^2 + (\sin \alpha - 0)^2 = \cos^2 \alpha - 2\cos \alpha + 1 + \sin^2 \alpha = 2 - 2\cos \alpha$

$BY^2 = (\cos(\alpha + \beta) - \cos \beta)^2 + (\sin(\alpha + \beta) - \sin \beta)^2 = \cos^2(\alpha + \beta) - 2\cos(\alpha + \beta)\cos \beta + \cos^2 \beta + \sin^2(\alpha + \beta) - 2\sin(\alpha + \beta)\sin \beta + \sin^2 \beta = 2 - 2(\cos(\alpha + \beta)\cos \beta + \sin(\alpha + \beta)\sin \beta)$

$AX^2 = BY^2$より

$2 - 2\cos \alpha = 2 - 2(\cos(\alpha + \beta)\cos \beta + \sin(\alpha + \beta)\sin \beta)$

$\cos \alpha = \cos(\alpha + \beta)\cos \beta + \sin(\alpha + \beta)\sin \beta$

$\cos(\alpha + \beta)\cos \beta = \cos \alpha - \sin(\alpha + \beta)\sin \beta$

$\cos(\alpha + \beta) = \frac{\cos \alpha}{\cos \beta} - \tan \beta \sin(\alpha + \beta)$

この証明方法では, $\alpha - (-\beta) = \alpha + \beta$となるので,

$AX^2 = (\cos \alpha - 1)^2 + (\sin \alpha - 0)^2 = \cos^2 \alpha - 2\cos \alpha + 1 + \sin^2 \alpha = 2 - 2\cos \alpha$

$BY^2 = (\cos(\alpha + \beta) - 1)^2 + (\sin(\alpha + \beta) - 0)^2 = \cos^2(\alpha + \beta) - 2\cos(\alpha + \beta) + 1 + \sin^2(\alpha + \beta) = 2 - 2\cos(\alpha + \beta)$

2点X$(\cos \alpha, \sin \alpha)$とB$(\cos \beta, \sin \beta)$間の距離の2乗は,

$XB^2 = (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2 = \cos^2 \alpha - 2\cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta + \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta = 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$

点A$(1, 0)$と点Y$(\cos(\alpha + \beta), \sin(\alpha + \beta))$間の距離の2乗は,

$AY^2 = (\cos(\alpha + \beta) - 1)^2 + (\sin(\alpha + \beta) - 0)^2 = \cos^2(\alpha + \beta) - 2\cos(\alpha + \beta) + 1 + \sin^2(\alpha + \beta) = 2 - 2\cos(\alpha + \beta)$

$XB = AY$より、$XB^2 = AY^2$なので

$2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = 2 - 2\cos(\alpha + \beta)$

$\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha + \beta)$

したがって、

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

次に, $\alpha$を$\alpha + \frac{\pi}{2}$で置き換えると

$\cos(\alpha + \frac{\pi}{2} + \beta) = \cos (\alpha + \frac{\pi}{2})\cos \beta - \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})\sin \beta$

$\cos((\alpha + \beta) + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\alpha + \beta)$

$\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin \alpha$

$\sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos \alpha$

$-\sin(\alpha + \beta) = (-\sin \alpha)\cos \beta - (\cos \alpha)\sin \beta$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$