$\angle BAC = 90^{\circ}$ の直角三角形 $ABC$ があり、$AB = 6$, $AC = 3\sqrt{3}$ である。斜辺 $BC$ 上に点 $D$ を $\angle BAD = 60^{\circ}$ となるようにとるとき、辺 $AD$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$\angle BAC = 90^{\circ}$ の直角三角形 $ABC$ があり、$AB = 6$, $AC = 3\sqrt{3}$ である。斜辺 $BC$ 上に点 $D$ を $\angle BAD = 60^{\circ}$ となるようにとるとき、辺 $AD$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

三角形 $ABC$ の面積を $S_{ABC}$、三角形 $ABD$ の面積を $S_{ABD}$、三角形 $ACD$ の面積を $S_{ACD}$ とする。ヒントにあるように、$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$ が成り立つ。$AD = x$ とおく。

まず、$S_{ABC}$ を求める。

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

次に、$S_{ABD}$ を求める。

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin{\angle BAD} = \frac{1}{2} \times 6 \times x \times \sin{60^{\circ}} = \frac{1}{2} \times 6 \times x \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}x$

次に、$S_{ACD}$ を求める。$\angle CAD = \angle BAC - \angle BAD = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ より、

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \times AC \times AD \times \sin{\angle CAD} = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{3} \times x \times \sin{30^{\circ}} = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{3} \times x \times \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}x$

したがって、$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$ より、

$9\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}x + \frac{3\sqrt{3}}{4}x$

両辺を $\sqrt{3}$ で割ると、

$9 = \frac{3}{2}x + \frac{3}{4}x$

両辺に4をかけると、

$36 = 6x + 3x$

$36 = 9x$

$x = 4$

よって、$AD = 4$ である。

3. 最終的な答え

$AD = 4$