以下の極限を計算します。 $\lim_{n \to \infty} n^2 (\sqrt{n^2 + n} - \sqrt{n^2 - n})$

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} n^2 (\sqrt{n^2 + n} - \sqrt{n^2 - n})$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{n^2 + n} - \sqrt{n^2 - n}$ に共役な式を掛けます。

$\sqrt{n^2 + n} + \sqrt{n^2 - n}$を分子と分母に掛けると、

\begin{align*}

\lim_{n \to \infty} n^2 (\sqrt{n^2 + n} - \sqrt{n^2 - n}) &= \lim_{n \to \infty} n^2 \frac{(\sqrt{n^2 + n} - \sqrt{n^2 - n})(\sqrt{n^2 + n} + \sqrt{n^2 - n})}{\sqrt{n^2 + n} + \sqrt{n^2 - n}} \\

&= \lim_{n \to \infty} n^2 \frac{(n^2 + n) - (n^2 - n)}{\sqrt{n^2 + n} + \sqrt{n^2 - n}} \\

&= \lim_{n \to \infty} n^2 \frac{2n}{\sqrt{n^2 + n} + \sqrt{n^2 - n}} \\

&= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3}{\sqrt{n^2 + n} + \sqrt{n^2 - n}}

\end{align*}

次に、分母の各項から$n$をくくりだします。

\begin{align*}

\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + n\sqrt{1 - \frac{1}{n}}} &= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3}{n(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n}})} \\

&= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n}}}

\end{align*}

ここで、$n^2$を分母分子から括り出すことを考えます。

$n^2$ で割ると、

\begin{align*}

\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n}}} &= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{\sqrt{n^2(1/n^2 + 1/n^3)} + \sqrt{n^2(1/n^2 - 1/n^3)}} \\

&= \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}} + \sqrt{\frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}}}

\end{align*}

上記とは別の方法を試します。

$n$を分母から括り出します。

\begin{align*}

\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3}{\sqrt{n^2 + n} + \sqrt{n^2 - n}} &= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + n\sqrt{1 - \frac{1}{n}}} \\

&= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n}}}

\end{align*}

$n \to \infty$のとき $\frac{1}{n} \to 0$なので、

$\sqrt{1 + \frac{1}{n}} \to 1$、$\sqrt{1 - \frac{1}{n}} \to 1$。

よって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{1 + 1} = \lim_{n \to \infty} n^2 = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$