$x \ge 0$ のとき、不等式 $x^3 - 3x^2 + 4 \ge 0$ を証明せよ。

1. 問題の内容

$x \ge 0$ のとき、不等式 $x^3 - 3x^2 + 4 \ge 0$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ とおく。

$f(x)$ を微分して、増減を調べる。

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$

$f'(x)=0$ となるのは $x=0, 2$ のとき。

$x \ge 0$ での増減表は以下のようになる。

| x | 0 | ... | 2 | ... |

|-------|------|-----|------|-----|

| f'(x) | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 4 | \ | 0 | / |

増減表から、$x \ge 0$ において、$f(x)$ は $x=2$ で最小値をとることがわかる。

最小値は $f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$

したがって、$x \ge 0$ において $f(x) \ge 0$ が成り立つ。

すなわち、$x^3 - 3x^2 + 4 \ge 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$x \ge 0$ のとき、$x^3 - 3x^2 + 4 \ge 0$ が成り立つ。