自然数 $n$ に対して、$n$ 以下の自然数のうち $n$ と互いに素であるものの個数を $\phi(n)$、正の約数の個数を $d(n)$ とする。 (1) $\phi(n) = d(n)$ となる $n$ を全て求める。 (2) $\phi(n)$ と $d(n)$ が共に平方数となる $n$ が無限に存在することを示す。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$n$ 以下の自然数のうち $n$ と互いに素であるものの個数を $\phi(n)$、正の約数の個数を $d(n)$ とする。

(1) $\phi(n) = d(n)$ となる $n$ を全て求める。

(2) $\phi(n)$ と $d(n)$ が共に平方数となる $n$ が無限に存在することを示す。

2. 解き方の手順

(1) $\phi(n) = d(n)$ となる $n$ を全て求める。

$n=1$ のとき、$\phi(1) = 1$, $d(1) = 1$ なので $\phi(1) = d(1)$。

$n=2$ のとき、$\phi(2) = 1$, $d(2) = 2$ なので $\phi(2) \neq d(2)$。

$n=3$ のとき、$\phi(3) = 2$, $d(3) = 2$ なので $\phi(3) = d(3)$。

$n=4$ のとき、$\phi(4) = 2$, $d(4) = 3$ なので $\phi(4) \neq d(4)$。

$n=5$ のとき、$\phi(5) = 4$, $d(5) = 2$ なので $\phi(5) \neq d(5)$。

$n=6$ のとき、$\phi(6) = 2$, $d(6) = 4$ なので $\phi(6) \neq d(6)$。

$n=7$ のとき、$\phi(7) = 6$, $d(7) = 2$ なので $\phi(7) \neq d(7)$。

$n=8$ のとき、$\phi(8) = 4$, $d(8) = 4$ なので $\phi(8) = d(8)$。

$n=9$ のとき、$\phi(9) = 6$, $d(9) = 3$ なので $\phi(9) \neq d(9)$。

$n=10$ のとき、$\phi(10) = 4$, $d(10) = 4$ なので $\phi(10) = d(10)$。

$n=12$ のとき、$\phi(12) = 4$, $d(12) = 6$ なので $\phi(12) \neq d(12)$。

$n = p$ ($p$ は素数) のとき、$\phi(p) = p-1$, $d(p) = 2$。よって $p-1 = 2$ から $p=3$。

$n = p^k$ ($p$ は素数) のとき、$\phi(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^{k-1}(p-1)$, $d(p^k) = k+1$。

$n = 2^k$ のとき、$\phi(2^k) = 2^k - 2^{k-1} = 2^{k-1}$, $d(2^k) = k+1$。

$2^{k-1} = k+1$ となる $k$ を探すと、$k=1, 2, 3, 4$ で、$k=1: 1=2$ (False), $k=2: 2=3$ (False), $k=3: 4=4$ (True), $k=4: 8=5$ (False)。

よって $n=2^3 = 8$ が解。

$n = p_1 p_2$ のとき、$\phi(n) = (p_1-1)(p_2-1)$, $d(n) = 4$。

$(p_1-1)(p_2-1) = 4$。$p_1-1 = 1, p_2-1 = 4$ はあり得ない (5は素数ではない)。

$p_1-1 = 2, p_2-1 = 2$ のとき、$p_1=3, p_2=3$ より $n=9$。$\phi(9) = 6$, $d(9) = 3$。

$n=2p$ のとき、$\phi(n) = \phi(2)\phi(p) = p-1$, $d(n) = 4$。$p-1 = 4$ より $p=5$。$n=10$。$\phi(10)=4$, $d(10)=4$。

したがって、$n=1, 3, 8, 10$。

(2) $\phi(n)$ と $d(n)$ が共に平方数となる $n$ が無限に存在することを示す。

$n = 2^k$ とする。$d(2^k) = k+1$ が平方数となるには、$k+1 = m^2$ となる $m$ が必要。つまり $k = m^2 - 1$。

このとき、$n = 2^{m^2-1}$ となる。

$\phi(2^{m^2-1}) = 2^{m^2-2}$ で、これが平方数になるには、$m^2-2$ が偶数である必要がある。

$m^2$ が偶数なら $m$ は偶数。よって $m=2l$ とすれば、$\phi(2^{(2l)^2-1}) = 2^{4l^2-2}$。

$4l^2-2$ が偶数なので、$\phi(2^{4l^2-1})$ は平方数となる。

$d(2^{4l^2-1}) = 4l^2$ は平方数である。

したがって、$n = 2^{4l^2-1}$ (ただし $l$ は任意の自然数) は $\phi(n)$ と $d(n)$ が共に平方数となる $n$ である。

$l$ は無限に存在するので、$n$ も無限に存在する。

3. 最終的な答え

(1) $n = 1, 3, 8, 10$

(2) $n = 2^{4l^2-1}$ ($l$ は任意の自然数) は $\phi(n)$ と $d(n)$ が共に平方数となる $n$ なので、条件を満たす $n$ は無限に存在する。