複素数平面上の点 $P(5+3i)$ を、点 $A(1+i)$ を中心に $\frac{5}{6}\pi$ 回転させた点 $R$ を表す複素数を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $P(5+3i)$ を、点 $A(1+i)$ を中心に $\frac{5}{6}\pi$ 回転させた点 $R$ を表す複素数を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $A$ を中心に点 $P$ を $\frac{5}{6}\pi$ 回転させた点を $R$ とすると、複素数平面上で次のように表せます。

$z_R - z_A = (z_P - z_A)e^{i\theta}$

ここで、

$z_P = 5 + 3i$

$z_A = 1 + i$

$\theta = \frac{5}{6}\pi$

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta = \cos\frac{5}{6}\pi + i\sin\frac{5}{6}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

よって、

$z_R = (z_P - z_A)e^{i\theta} + z_A$

$z_P - z_A = (5+3i) - (1+i) = 4 + 2i$

$(z_P - z_A)e^{i\theta} = (4+2i)(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = -2\sqrt{3} + 2i - i\sqrt{3} - 1 = -(2\sqrt{3}+1) + i(2-\sqrt{3})$

$z_R = -(2\sqrt{3}+1) + i(2-\sqrt{3}) + (1+i) = -2\sqrt{3} + i(3-\sqrt{3})$

3. 最終的な答え

$-2\sqrt{3} + (3-\sqrt{3})i$