与えられた式を計算して、整理する問題です。式は $\frac{1}{2}(2x - y + 3) - \frac{2}{3}(x - 3y - 1)$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を計算して、整理する問題です。式は

$\frac{1}{2}(2x - y + 3) - \frac{2}{3}(x - 3y - 1)$

です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの括弧を展開します。

$\frac{1}{2}(2x - y + 3) = \frac{1}{2} \cdot 2x - \frac{1}{2} \cdot y + \frac{1}{2} \cdot 3 = x - \frac{1}{2}y + \frac{3}{2}$

$-\frac{2}{3}(x - 3y - 1) = -\frac{2}{3} \cdot x - \frac{2}{3} \cdot (-3y) - \frac{2}{3} \cdot (-1) = -\frac{2}{3}x + 2y + \frac{2}{3}$

次に、展開した式をまとめます。

$x - \frac{1}{2}y + \frac{3}{2} - \frac{2}{3}x + 2y + \frac{2}{3} = (x - \frac{2}{3}x) + (-\frac{1}{2}y + 2y) + (\frac{3}{2} + \frac{2}{3})$

各項を計算します。

$x - \frac{2}{3}x = \frac{3}{3}x - \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x$

$-\frac{1}{2}y + 2y = -\frac{1}{2}y + \frac{4}{2}y = \frac{3}{2}y$

$\frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{9}{6} + \frac{4}{6} = \frac{13}{6}$

したがって、与えられた式は以下のように整理できます。

$\frac{1}{3}x + \frac{3}{2}y + \frac{13}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}x + \frac{3}{2}y + \frac{13}{6}$