次の2つの不定方程式の整数解をすべて求める問題です。 (1) $3x - 11y = 1$ (2) $7x + 2y = 1$

1. 問題の内容

次の2つの不定方程式の整数解をすべて求める問題です。

(1) $3x - 11y = 1$

(2) $7x + 2y = 1$

2. 解き方の手順

(1) $3x - 11y = 1$の整数解を求める

まず、特殊解を一つ見つける。

$3x - 11y = 1$

$3 \times 4 - 11 \times 1 = 12 - 11 = 1$

よって、$x = 4$, $y = 1$は特殊解の一つである。

$3x - 11y = 1$と$3 \times 4 - 11 \times 1 = 1$の差をとると、

$3(x - 4) - 11(y - 1) = 0$

$3(x - 4) = 11(y - 1)$

3と11は互いに素なので、$x - 4$は11の倍数である必要がある。

よって、$x - 4 = 11k$ ($k$は整数)とおける。

$x = 11k + 4$

これを$3(x - 4) = 11(y - 1)$に代入すると、

$3(11k) = 11(y - 1)$

$3k = y - 1$

$y = 3k + 1$

(2) $7x + 2y = 1$の整数解を求める

まず、特殊解を一つ見つける。

$7x + 2y = 1$

$7 \times 1 + 2 \times (-3) = 7 - 6 = 1$

よって、$x = 1$, $y = -3$は特殊解の一つである。

$7x + 2y = 1$と$7 \times 1 + 2 \times (-3) = 1$の差をとると、

$7(x - 1) + 2(y + 3) = 0$

$7(x - 1) = -2(y + 3)$

7と2は互いに素なので、$x - 1$は2の倍数である必要がある。

よって、$x - 1 = 2k$ ($k$は整数)とおける。

$x = 2k + 1$

これを$7(x - 1) = -2(y + 3)$に代入すると、

$7(2k) = -2(y + 3)$

$7k = -(y + 3)$

$y = -7k - 3$

3. 最終的な答え

(1) $x = 11k + 4$, $y = 3k + 1$ ($k$は整数)

(2) $x = 2k + 1$, $y = -7k - 3$ ($k$は整数)