自然数 $n$ に対して、$n$ の約数の個数を $f(n)$ で表す。 (1) 自然数 $a$ について、$f(a) = 6$ のとき、$f(a^3)$ の値をすべて求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$n$ の約数の個数を $f(n)$ で表す。

(1) 自然数 $a$ について、$f(a) = 6$ のとき、$f(a^3)$ の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(a) = 6$ であることから、$a$ の素因数分解の形を考える。約数の個数が6個である自然数$a$は以下のいずれかの形をしている。

(i) $a = p^5$ ($p$ は素数)

このとき、$f(a) = 5 + 1 = 6$。

(ii) $a = p^2 q$ ($p, q$ は異なる素数)

このとき、$f(a) = (2+1)(1+1) = 3 \times 2 = 6$。

それぞれのケースについて$f(a^3)$を計算する。

(i)の場合: $a = p^5$ のとき、$a^3 = (p^5)^3 = p^{15}$。

したがって、$f(a^3) = f(p^{15}) = 15+1 = 16$。

(ii)の場合: $a = p^2 q$ のとき、$a^3 = (p^2 q)^3 = p^6 q^3$。

したがって、$f(a^3) = f(p^6 q^3) = (6+1)(3+1) = 7 \times 4 = 28$。

以上より、$f(a^3)$ の値は16と28。

3. 最終的な答え

16, 28