画像に示された9つの三角形について、与えられた条件から指定された辺の長さまたは角の大きさを求める問題です。

## 問題の解答

1. 問題の内容

画像に示された9つの三角形について、与えられた条件から指定された辺の長さまたは角の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

各問題ごとに、以下の手順で解いていきます。

1. 与えられた情報から、どの公式（正弦定理、余弦定理など）を使うべきか判断します。

2. 公式に値を代入し、未知の値を計算します。

3. 必要に応じて、三角関数の値を調べます。

以下に、各問題の解法と答えを示します。

(1) $b=2$, $c=2\sqrt{3}$, $A=30^\circ$のとき、$a$を求める。

余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$ を用いる。

$a^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos{30^\circ}$

$a^2 = 4 + 12 - 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 16 - 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 - 12 = 4$

よって、$a = 2$

(2) $a=\sqrt{2}$, $c=5$, $B=135^\circ$のとき、$b$を求める。

余弦定理 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos{B}$ を用いる。

$b^2 = (\sqrt{2})^2 + 5^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 5 \cdot \cos{135^\circ}$

$b^2 = 2 + 25 - 10\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$b^2 = 27 + 10 = 37$

よって、$b = \sqrt{37}$

(3) $a=\sqrt{6}$, $b=1+\sqrt{3}$, $C=45^\circ$のとき、$c$を求める。

余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$ を用いる。

$c^2 = (\sqrt{6})^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot (1+\sqrt{3}) \cdot \cos{45^\circ}$

$c^2 = 6 + (1+2\sqrt{3}+3) - 2\sqrt{6}(1+\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 10 + 2\sqrt{3} - \sqrt{3}(2+2\sqrt{3}) = 10+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}-6=4$

よって、$c=2$

(4) $b=\sqrt{7}$, $c=3$, $B=60^\circ$のとき、$a$を求める。

正弦定理 $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ より $\sin C = \frac{c \sin B}{b}$

$\sin C = \frac{3 \sin 60^\circ}{\sqrt{7}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{21}}{14}$

$C = \arcsin \frac{3\sqrt{21}}{14}$

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - \arcsin \frac{3\sqrt{21}}{14} = 120^\circ - \arcsin \frac{3\sqrt{21}}{14}$

正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ より $a = \frac{b \sin A}{\sin B}$

$a = \frac{\sqrt{7} \sin (120^\circ - \arcsin \frac{3\sqrt{21}}{14})}{\sin 60^\circ}$

余弦定理$b^2=a^2+c^2-2ac\cos{B}$

$(\sqrt{7})^2 = a^2 + 3^2 - 2*a*3*\cos{60^\circ}$

$7 = a^2+9 - 3a$

$a^2 - 3a +2 = 0$

$(a-1)(a-2) = 0$

$a=1, 2$

(5) $a=4$, $b=2\sqrt{2}$, $A=45^\circ$のとき、$c$を求める。

正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ より $\sin B = \frac{b \sin A}{a}$

$\sin B = \frac{2\sqrt{2} \sin 45^\circ}{4} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$B = 30^\circ$または$150^\circ$

$B = 30^\circ$のとき、 $C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$

$B = 150^\circ$のとき、$A+B=195^\circ>180^\circ$なので不適。

$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$

$c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{4 \sin 105^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \sin (60^\circ + 45^\circ)}{\sin 45^\circ} = \frac{4(\sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ)}{\sin 45^\circ} = 4 (\sin 60^\circ + \cos 60^\circ) = 4(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = 2(1+\sqrt{3})$

(6) $a=\sqrt{2}$, $c=2$, $A=30^\circ$のとき、$b$を求める。

正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$ より $\sin C = \frac{c \sin A}{a}$

$\sin C = \frac{2 \sin 30^\circ}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$C = 45^\circ$または$135^\circ$

$B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$または$B = 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ$

$b=\frac{a\sin B}{\sin A}$

$b = \frac{\sqrt{2} \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ} = 2\sqrt{2} \sin(60^\circ + 45^\circ) = 2\sqrt{2} (\sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ)=2\sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

または、 $b = \frac{\sqrt{2} \sin 15^\circ}{\sin 30^\circ} = 2\sqrt{2}\sin(45^\circ-30^\circ)= 2\sqrt{2} (\sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ)= 2\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2})=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

(7) $a=1$, $b=\sqrt{5}$, $c=\sqrt{2}$のとき、$B$を求める。

余弦定理 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos{B}$より

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{1^2 + (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2}{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1 + 2 - 5}{2\sqrt{2}} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$B = 135^\circ$

(8) $a=7$, $b=5$, $c=3$のとき、$A$を求める。

余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$より

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 3^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 3} = \frac{25 + 9 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$

よって、$A = 120^\circ$

(9) $a=2\sqrt{6}$, $b=\sqrt{6}$, $c=3\sqrt{2}$のとき、$C$を求める。

余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$より

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{(2\sqrt{6})^2 + (\sqrt{6})^2 - (3\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{24 + 6 - 18}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

よって、$C = 60^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$

(2) $b = \sqrt{37}$

(3) $c = 2$

(4) $a = 1, 2$

(5) $c = 2(1+\sqrt{3})$

(6) $b= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ または $b = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

(7) $B = 135^\circ$

(8) $A = 120^\circ$

(9) $C = 60^\circ$