自然数 $n$ に対して、$n$ の約数の個数を $f(n)$ で表す。 (1) 自然数 $a$ について、$f(a) = 6$ のとき、$f(a^3)$ の値をすべて求める。 (2) 自然数 $b$, $c$ について、$f(b) = 5$, $f(c) = 7$ のとき、$f(b^2 c^2)$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$n$ の約数の個数を $f(n)$ で表す。

(1) 自然数 $a$ について、$f(a) = 6$ のとき、$f(a^3)$ の値をすべて求める。

(2) 自然数 $b$, $c$ について、$f(b) = 5$, $f(c) = 7$ のとき、$f(b^2 c^2)$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(a)=6$ より、$a$ の素因数分解は以下のいずれかの形になる。

* $a = p^5$ (pは素数)

* $a = p^2 q$ (p, qは異なる素数)

1. $a = p^5$ のとき、$a^3 = (p^5)^3 = p^{15}$ なので、$f(a^3) = f(p^{15}) = 15 + 1 = 16$

2. $a = p^2 q$ のとき、$a^3 = (p^2 q)^3 = p^6 q^3$ なので、$f(a^3) = f(p^6 q^3) = (6+1)(3+1) = 7 \cdot 4 = 28$

よって、$f(a^3)$ の値は16, 28

(2) $f(b) = 5$ より、$b$ はある素数 $p$ を用いて $b = p^4$ と表せる。

$f(c) = 7$ より、$c$ はある素数 $q$ を用いて $c = q^6$ と表せる。

ここで、$p$ と $q$ が等しい場合と異なる場合がある。

1. $p \ne q$ のとき、$b^2 c^2 = (p^4)^2 (q^6)^2 = p^8 q^{12}$ なので、$f(b^2 c^2) = (8+1)(12+1) = 9 \cdot 13 = 117$

2. $p = q$ のとき、$b^2 c^2 = (p^4)^2 (p^6)^2 = p^8 p^{12} = p^{20}$ なので、$f(b^2 c^2) = 20 + 1 = 21$

よって、$f(b^2 c^2)$ の値は 21, 117

3. 最終的な答え

(1) $f(a^3) = 16, 28$

(2) $f(b^2 c^2) = 21, 117$