問題は以下の3つの命題の対偶を述べ、対偶を証明するというものです。 (1) $a^2$ が 2 の倍数ならば、$a$ も 2 の倍数である。 (2) $a^2 + b^2$ が 3 で割り切れるならば、$a$、$b$ はともに 3 で割り切れる。 (3) 積 $ab$ が 4 の倍数ならば、$a$ または $b$ は 2 の倍数である。

1. 問題の内容

問題は以下の3つの命題の対偶を述べ、対偶を証明するというものです。

(1) $a^2$ が 2 の倍数ならば、$a$ も 2 の倍数である。

(2) $a^2 + b^2$ が 3 で割り切れるならば、$a$、$b$ はともに 3 で割り切れる。

(3) 積 $ab$ が 4 の倍数ならば、$a$ または $b$ は 2 の倍数である。

2. 解き方の手順

(1)

対偶: $a$ が 2 の倍数でないならば、$a^2$ は 2 の倍数でない。

証明: $a$ が 2 の倍数でないとき、$a$ は奇数なので、$a = 2k + 1$ (k は整数) と表せる。

このとき、$a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ となり、$a^2$ も奇数である。

したがって、$a^2$ は 2 の倍数ではない。

(2)

対偶: $a$ または $b$ が 3 で割り切れないならば、$a^2 + b^2$ は 3 で割り切れない。

証明: $a$ または $b$ が 3 で割り切れないとき、以下のパターンが考えられます。

* $a \equiv 1 \pmod{3}$ または $a \equiv 2 \pmod{3}$

* $b \equiv 1 \pmod{3}$ または $b \equiv 2 \pmod{3}$

剰余類で場合分けして考えます。

* $a \equiv 1 \pmod{3}$ かつ $b \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$a^2 + b^2 \equiv 1^2 + 1^2 \equiv 2 \pmod{3}$

* $a \equiv 1 \pmod{3}$ かつ $b \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$a^2 + b^2 \equiv 1^2 + 2^2 \equiv 1 + 4 \equiv 5 \equiv 2 \pmod{3}$

* $a \equiv 2 \pmod{3}$ かつ $b \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$a^2 + b^2 \equiv 2^2 + 1^2 \equiv 4 + 1 \equiv 5 \equiv 2 \pmod{3}$

* $a \equiv 2 \pmod{3}$ かつ $b \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$a^2 + b^2 \equiv 2^2 + 2^2 \equiv 4 + 4 \equiv 8 \equiv 2 \pmod{3}$

いずれの場合も、$a^2 + b^2$ は 3 で割り切れません。

(3)

対偶: $a$ も $b$ も 2 の倍数でないならば、積 $ab$ は 4 の倍数ではない。

証明: $a$ も $b$ も 2 の倍数でないとき、$a$ と $b$ はともに奇数なので、$a = 2k + 1$、$b = 2l + 1$ (k, l は整数) と表せる。

このとき、$ab = (2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1$ となり、$ab$ も奇数である。

したがって、$ab$ は 2 の倍数ではないので、4 の倍数でもない。

3. 最終的な答え

(1)

対偶: $a$ が 2 の倍数でないならば、$a^2$ は 2 の倍数でない。

(証明は上記参照)

(2)

対偶: $a$ または $b$ が 3 で割り切れないならば、$a^2 + b^2$ は 3 で割り切れない。

(証明は上記参照)

(3)

対偶: $a$ も $b$ も 2 の倍数でないならば、積 $ab$ は 4 の倍数ではない。

(証明は上記参照)