関数 $f(x) = x^2 - 4x$ について、以下のものを求める問題です。 (1) $x$ が $3$ から $7$ まで変化するときの平均変化率 (2) $x$ が $2$ から $2+h$ ($h \neq 0$) まで変化するときの平均変化率 (3) $x=2$ における微分係数 (4) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $A(a, f(a))$ における接線の傾きが $-1$ となるときの $a$ の値

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 4x$ について、以下のものを求める問題です。

(1) $x$ が $3$ から $7$ まで変化するときの平均変化率

(2) $x$ が $2$ から $2+h$ ($h \neq 0$) まで変化するときの平均変化率

(3) $x=2$ における微分係数

(4) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $A(a, f(a))$ における接線の傾きが $-1$ となるときの $a$ の値

2. 解き方の手順

(1) 平均変化率は、$\frac{f(7) - f(3)}{7-3}$ で求められます。

$f(7) = 7^2 - 4 \cdot 7 = 49 - 28 = 21$

$f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$

よって、平均変化率は $\frac{21 - (-3)}{7-3} = \frac{24}{4} = 6$

(2) 平均変化率は、$\frac{f(2+h) - f(2)}{(2+h)-2} = \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ で求められます。

$f(2+h) = (2+h)^2 - 4(2+h) = 4 + 4h + h^2 - 8 - 4h = h^2 - 4$

$f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

よって、平均変化率は $\frac{(h^2 - 4) - (-4)}{h} = \frac{h^2}{h} = h$

(3) $x=2$ における微分係数は、$f'(2)$ で求められます。

まず、$f'(x)$ を求めます。$f(x) = x^2 - 4x$ なので、$f'(x) = 2x - 4$

よって、$f'(2) = 2 \cdot 2 - 4 = 4 - 4 = 0$

(4) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $A(a, f(a))$ における接線の傾きは、$f'(a)$ で求められます。

$f'(x) = 2x - 4$ なので、$f'(a) = 2a - 4$

これが $-1$ となるので、$2a - 4 = -1$ を解きます。

$2a = 3$

$a = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) $h$

(3) 0

(4) $\frac{3}{2}$