$N=2^{100}$ について、以下の問題を解く。 (1) $N$ の桁数を求めよ。 (2) $N$ の最高位の数字を求めよ。 (3) $N$ の最高位から1つ下の位の数字を求めよ。 ただし、$\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}3=0.4771$, $\log_{10}7=0.8451$, $\log_{10}11=1.0414$, $\log_{10}13=1.1139$ とする。

1. 問題の内容

$N=2^{100}$ について、以下の問題を解く。

(1) $N$ の桁数を求めよ。

(2) $N$ の最高位の数字を求めよ。

(3) $N$ の最高位から1つ下の位の数字を求めよ。

ただし、$\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}3=0.4771$, $\log_{10}7=0.8451$, $\log_{10}11=1.0414$, $\log_{10}13=1.1139$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $N$ の桁数を求める。

$N=2^{100}$ の常用対数をとると、

$\log_{10}N = \log_{10}(2^{100}) = 100\log_{10}2 = 100(0.3010) = 30.10$

したがって、$N = 10^{30.10} = 10^{30} \times 10^{0.10}$

$10^{0.10}$ の値は、$\log_{10}x = 0.10$ となる $x$ を求めることと同じである。

$\log_{10}1 = 0$ であり、$\log_{10}2 = 0.3010$ であるから、$1 < x < 2$ となる。

$N = 10^{30.10} = 10^{30} \times 10^{0.10}$ より、$N$ は $30+1 = 31$ 桁の数である。

(2) $N$ の最高位の数字を求める。

(1)より、$N = 10^{30} \times 10^{0.10}$ である。

$10^{0.10}$ の値を求めるために、与えられた対数値を利用する。

$\log_{10}1 = 0 < 0.10 < \log_{10}2 = 0.3010$ より、$1 < 10^{0.10} < 2$ となる。

$10^{0.10} = x$ とすると、$\log_{10}x = 0.10$ である。

$\log_{10}1.2 = \log_{10}\frac{12}{10} = \log_{10}(2^2 \times 3) - \log_{10}10 = 2\log_{10}2 + \log_{10}3 - 1 = 2(0.3010) + 0.4771 - 1 = 0.6020 + 0.4771 - 1 = 1.0791 - 1 = 0.0791$

$\log_{10}1.3 = \log_{10}\frac{13}{10} = \log_{10}13 - \log_{10}10 = 1.1139 - 1 = 0.1139$

$\log_{10}1.25 = \log_{10}\frac{5}{4} = \log_{10}\frac{10}{8} = \log_{10}10 - \log_{10}2^3 = 1 - 3\log_{10}2 = 1 - 3(0.3010) = 1 - 0.9030 = 0.0970$

$10^{0.10}$ は約1.26となるので、最高位の数字は1である。

(3) $N$ の最高位から1つ下の位の数字を求める。

$10^{0.10}$ をより詳しく求める。

$\log_{10}1.26 = \log_{10}\frac{126}{100} = \log_{10}(2 \times 3^2 \times 7) - \log_{10}100 = \log_{10}2 + 2\log_{10}3 + \log_{10}7 - 2 = 0.3010 + 2(0.4771) + 0.8451 - 2 = 0.3010 + 0.9542 + 0.8451 - 2 = 2.0993 - 2 = 0.0993$

$\log_{10}1.27 = \log_{10}\frac{127}{100} = \log_{10}127 - \log_{10}100$ は不明である。

$10^{0.10}$ は約1.26となるので、最高位の数字は1、次の数字は2である。

3. 最終的な答え

(1) 31桁

(2) 1

(3) 2