円に内接する四角形ABCDにおいて、各辺の長さがAB=8, BC=3, CD=5, DA=3であるとき、$\angle DAB$, BD, 四角形ABCDの面積を求め、さらに円Oの面積を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、各辺の長さがAB=8, BC=3, CD=5, DA=3であるとき、$\angle DAB$, BD, 四角形ABCDの面積を求め、さらに円Oの面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\angle DAB$とBDの長さを求めます。

$\triangle ABD$において、余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \times AB \times AD \times \cos(\angle DAB)$

$BD^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \times 8 \times 3 \times \cos(\angle DAB)$

$BD^2 = 64 + 9 - 48 \cos(\angle DAB)$

$BD^2 = 73 - 48 \cos(\angle DAB)$

一方、$\triangle BCD$において、余弦定理より、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \times BC \times CD \times \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \times 3 \times 5 \times \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 9 + 25 - 30 \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 34 - 30 \cos(\angle BCD)$

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle DAB + \angle BCD = 180^{\circ}$となり、$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle DAB$です。したがって、$\cos(\angle BCD) = \cos(180^{\circ} - \angle DAB) = -\cos(\angle DAB)$です。

$BD^2 = 34 + 30 \cos(\angle DAB)$

2つの式から$BD^2$を消去すると、

$73 - 48 \cos(\angle DAB) = 34 + 30 \cos(\angle DAB)$

$39 = 78 \cos(\angle DAB)$

$\cos(\angle DAB) = \frac{39}{78} = \frac{1}{2}$

$\angle DAB = 60^{\circ}$

したがって、$BD^2 = 34 + 30 \times \frac{1}{2} = 34 + 15 = 49$

$BD = 7$

四角形ABCDの面積は、$\triangle ABD$と$\triangle BCD$の面積の和です。

$\triangle ABD = \frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin(\angle DAB) = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 \times \sin(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \times 24 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

$\triangle BCD = \frac{1}{2} \times BC \times CD \times \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \sin(120^{\circ}) = \frac{1}{2} \times 15 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

四角形ABCDの面積 = $6\sqrt{3} + \frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{24\sqrt{3} + 15\sqrt{3}}{4} = \frac{39\sqrt{3}}{4}$

次に、円Oの面積を求めます。正弦定理より、

$\frac{BD}{\sin(\angle DAB)} = 2R$

$\frac{7}{\sin(60^{\circ})} = 2R$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

円Oの面積 = $\pi R^2 = \pi (\frac{7\sqrt{3}}{3})^2 = \pi \frac{49 \times 3}{9} = \frac{49\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\angle DAB = 60^{\circ}$

$BD = 7$

四角形ABCDの面積 = $\frac{39\sqrt{3}}{4}$

円Oの面積 = $\frac{49\pi}{3}$