3つの自然数 $a, b, c$ の組を求める問題です。ただし、$a < b < c$ であり、以下の条件を満たします。 (A) $a, b, c$ の最大公約数は 7 (B) $b$ と $c$ の最大公約数は 21, 最小公倍数は 294 (C) $a$ と $b$ の最小公倍数は 84

1. 問題の内容

3つの自然数 $a, b, c$ の組を求める問題です。ただし、$a < b < c$ であり、以下の条件を満たします。

(A) $a, b, c$ の最大公約数は 7

(B) $b$ と $c$ の最大公約数は 21, 最小公倍数は 294

(C) $a$ と $b$ の最小公倍数は 84

2. 解き方の手順

(A)より、$a=7x, b=7y, c=7z$（$x, y, z$ は互いに素な自然数）とおけます。ただし、$x < y < z$ である必要があります。

(B)より、$b$ と $c$ の最大公約数が21なので、$b = 21p, c = 21q$（$p, q$ は互いに素な自然数）とおけます。

最小公倍数が294なので、$21pq = 294$ より、$pq = 14$となります。

$p$ と $q$ は互いに素なので、$(p, q) = (1, 14), (2, 7)$ が考えられます。

このとき、$b = 21, c = 294$ または $b = 42, c = 147$ となります。

(C)より、$a$ と $b$ の最小公倍数が84です。

$a = 7x$ と $b$ の組み合わせで場合分けして考えます。

(i) $b = 21$ のとき、 $a=7x$ と $b=21$ の最小公倍数が84なので、$21x' = 84$ より、$x' = 4$ です。したがって、$x = 4$。このとき、$a = 28$。

このとき、$(a, b, c) = (28, 21, 294)$ となりますが、$a < b$ の条件に違反するため不適。

(ii) $b = 42$ のとき、 $a=7x$ と $b=42$ の最小公倍数が84なので、$42x' = 84$ より、$x' = 2$です。したがって、$x = 2$。このとき、$a = 14$。

このとき、$(a, b, c) = (14, 42, 147)$ となります。

$a, b, c$ の最大公約数が7であることを確認します。$14 = 7 \times 2, 42 = 7 \times 6, 147 = 7 \times 21$ より、2, 6, 21の最大公約数は1なので、条件(A)を満たします。

$a < b < c$ も満たします。

3. 最終的な答え

(a, b, c) = (14, 42, 147)