初項2、公差5の等差数列 $\{a_n\}$ のうち、2桁の自然数である項の総和 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

初項2、公差5の等差数列 $\{a_n\}$ のうち、2桁の自然数である項の総和 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で与えられる。ここで、$a_1 = 2$、$d = 5$ であるから、

$$a_n = 2 + (n-1)5 = 2 + 5n - 5 = 5n - 3$$

数列 $\{a_n\}$ が2桁の自然数となる条件を求める。つまり、$10 \leq a_n \leq 99$ を満たす $n$ を求める。

$$10 \leq 5n - 3 \leq 99$$

$$13 \leq 5n \leq 102$$

$$\frac{13}{5} \leq n \leq \frac{102}{5}$$

$$2.6 \leq n \leq 20.4$$

$n$ は自然数なので、$3 \leq n \leq 20$ である。したがって、2桁の自然数となる項は $a_3$ から $a_{20}$ までである。

総和 $S$ を求める。これは等差数列の和なので、$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ を利用する。今回は、初項が $a_3 = 5(3) - 3 = 12$、末項が $a_{20} = 5(20) - 3 = 97$、項数が $20 - 3 + 1 = 18$ である。したがって、

$$S = \frac{18}{2}(12 + 97) = 9(109) = 981$$

3. 最終的な答え

$S = 981$