初項2、公差5の等差数列 $\{a_n\}$ と、初項2、公比3の等比数列 $\{b_n\}$ が与えられている。$c_n = a_n b_n$、$T_n = \sum_{k=1}^{n} c_k$ とするとき、$T_n$を求めよ。$n \ge 2$ のとき、$T_n = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \dots + a_nb_n$ より、$(1-[10])T_n = [11] + [12](3 + 3^2 + \dots + 3^{[13]}) - [14][19]n \cdot 3^{[14]}$ となる。[10],[14],[19] に当てはまる選択肢を答えよ。

1. 問題の内容

初項2、公差5の等差数列 $\{a_n\}$ と、初項2、公比3の等比数列 $\{b_n\}$ が与えられている。$c_n = a_n b_n$、$T_n = \sum_{k=1}^{n} c_k$ とするとき、$T_n$を求めよ。$n \ge 2$ のとき、$T_n = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \dots + a_nb_n$ より、$(1-[10])T_n = [11] + [12](3 + 3^2 + \dots + 3^{[13]}) - [14][19]n \cdot 3^{[14]}$ となる。[10],[14],[19] に当てはまる選択肢を答えよ。

2. 解き方の手順

まず、$a_n$と$b_n$の一般項を求める。

$a_n = 2 + (n-1)5 = 5n - 3$

$b_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

したがって、$c_n = (5n - 3) \cdot 2 \cdot 3^{n-1} = (10n - 6) \cdot 3^{n-1}$

$T_n = \sum_{k=1}^n c_k = \sum_{k=1}^n (10k - 6) \cdot 3^{k-1}$

$T_n = 4 + 24 + 78 + \dots + (10n - 6) \cdot 3^{n-1}$

$3T_n = 12 + 72 + \dots + (10(n-1) - 6) \cdot 3^{n-1} + (10n - 6) \cdot 3^n$

$(1-3)T_n = T_n - 3T_n = 4 + \sum_{k=2}^n (10k - 6 - 10(k-1) + 6) \cdot 3^{k-1} - (10n - 6) \cdot 3^n$

$-2T_n = 4 + \sum_{k=2}^n 10 \cdot 3^{k-1} - (10n - 6) \cdot 3^n$

$-2T_n = 4 + 10 \sum_{k=1}^{n-1} 3^k - (10n - 6) \cdot 3^n$

$-2T_n = 4 + 10 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} - (10n - 6) \cdot 3^n$

$-2T_n = 4 + 5 \cdot 3^n - 5 \cdot 3 - (10n - 6) \cdot 3^n$

$-2T_n = 4 + 5 \cdot 3^n - 15 - (10n - 6) \cdot 3^n$

$-2T_n = -11 + (5 - 10n + 6) \cdot 3^n = -11 + (11 - 10n) \cdot 3^n$

$2T_n = 11 + (10n - 11) \cdot 3^n$

$T_n = \frac{11}{2} + \frac{(10n - 11) \cdot 3^n}{2}$

与えられた式と比較すると、

$(1-3)T_n = 4 + 10(3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}) - (10n - 6) \cdot 3^n$

したがって、

[10] = 3

[14] = 10

[19] = n-1

3. 最終的な答え

10: 3

14: 10

19: 2