自然数 $n$ に関する条件 $P$ が全ての自然数について成り立つことを証明するために、数学的帰納法を用いる場合の手順を問う問題です。具体的には、 [1] $n=1$ のとき、 [2] $n=k$ のとき、と、$n=k+1$ のときに何をすべきかを、選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に関する条件 $P$ が全ての自然数について成り立つことを証明するために、数学的帰納法を用いる場合の手順を問う問題です。具体的には、

[1] $n=1$ のとき、

[2] $n=k$ のとき、と、$n=k+1$ のときに何をすべきかを、選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

数学的帰納法は、以下の手順で証明を行います。

(1) **初期段階**: $n=1$ (または最初の自然数) のときに条件 $P$ が成り立つことを示します。

(2) **帰納的段階**: $n=k$ のときに条件 $P$ が成り立つと仮定（帰納法の仮定）し、$n=k+1$ のときにも条件 $P$ が成り立つことを示します。

したがって、

[1] $n=1$ のときは、条件 $P$ が成り立つことを示す必要があります。選択肢③が該当します。

[2] $n=k$ のときは、条件 $P$ が成り立つことを仮定します。選択肢②が該当します。

そして、$n=k+1$ のときは、条件 $P$ が成り立つことを示す必要があります。選択肢③が該当します。

3. 最終的な答え

[1] $n=1$ のとき: ③

[2] $n=k$ のとき: ②、$n=k+1$ のとき: ③