与えられた複数の式の展開を計算します。具体的には、以下の6つの式を展開します。 (1) $(x+7)(x+4)$ (3) $(x-4y)(x-9y)$ (5) $(3x-2)^2$ (7) $(\frac{1}{2}x+2)^2$ (9) $(x-7y)(x+7y)$ (11) $(-5x+1)(5x-1)$

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた複数の式の展開を計算します。具体的には、以下の6つの式を展開します。

(1) $(x+7)(x+4)$

(3) $(x-4y)(x-9y)$

(5) $(3x-2)^2$

(7) $(\frac{1}{2}x+2)^2$

(9) $(x-7y)(x+7y)$

(11) $(-5x+1)(5x-1)$

2. 解き方の手順

(1) $(x+7)(x+4)$

$x$についての2次式を展開します。

$(x+7)(x+4) = x^2 + (7+4)x + (7)(4) = x^2 + 11x + 28$

(3) $(x-4y)(x-9y)$

$x$と$y$についての2次式を展開します。

$(x-4y)(x-9y) = x^2 + (-4y-9y)x + (-4y)(-9y) = x^2 -13xy + 36y^2$

(5) $(3x-2)^2$

二項の平方を展開します。$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$の公式を使用します。

$(3x-2)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(2) + (2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$

(7) $(\frac{1}{2}x+2)^2$

二項の平方を展開します。$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$の公式を使用します。

$(\frac{1}{2}x+2)^2 = (\frac{1}{2}x)^2 + 2(\frac{1}{2}x)(2) + (2)^2 = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$

(9) $(x-7y)(x+7y)$

和と差の積の公式を使用します。$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

$(x-7y)(x+7y) = x^2 - (7y)^2 = x^2 - 49y^2$

(11) $(-5x+1)(5x-1)$

式を展開します。

$(-5x+1)(5x-1) = (-5x)(5x) + (-5x)(-1) + (1)(5x) + (1)(-1) = -25x^2 + 5x + 5x - 1 = -25x^2 + 10x - 1$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 11x + 28$

(3) $x^2 -13xy + 36y^2$

(5) $9x^2 - 12x + 4$

(7) $\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$

(9) $x^2 - 49y^2$

(11) $-25x^2 + 10x - 1$